从古展牟合方盖等展品4我国古代数学中-无穷分割和极限思想的成就new

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1、、中1刁，’薹，笮乍专寄宝f／，稚7臣，从古展牟合方盖等展品4-我国古代数学中7一7无穷分割和极限思想的成就金强△0112／无穷分割和极限思想作为一种哲学命题有着极为悠久的历史。早在我国春秋战国时期，先秦名家有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的命题。墨家也认为分割是不断进行的，最后得到一个“端”，而“端”是没有大小，量度为零，但又不是什么都不是的东西。但真正在数学领域中最早出神入化地运用无穷分割和极限思想的当推我国古代数学家刘徽，他在这方面所取得的成果在很长一段历史时期内居世界领先地位，堪称世界数学史的一朵奇葩。中国科技馆中国古代传统技术展览数学展

2、区一组堑堵，阳马，鳖月需和一组牟合方盖模型等展品所展示的就是这方面的一些杰出成就。刘馓，魏晋时期人。他继承和发扬了名家和墨家思想，善于运用逻辑思维，分析义理。所撰《九章算术注》，对《九章》方法，公式和定理进行了全面的论述，指出并纠正了其中的错误，在数学方法和理论上作出了杰出的贡献。刘徽运用无穷分割和极限思想在解决圆面积，圆周率，多面体体积和球体积等问题上更是取得了令人嘱目的成果。一、堑堵，阳马，鳖月需模型和刘徽原理古代为解决堤防，城垣，防御工事，陵墓等工程设施的工程量的计算问题，必需涉及到各种多面体体积的问题。刘徽巧妙地将任意多面体分解成有限个长方

3、体以及堑堵，阳马，鳖月需，并把问题最后归结为求解阳马，鳖月需的体积。所谓堑堵，是将长方体沿相对两棱剖开所得立体。措堑堵一顶点与相对棱剖开，其中之一是底面为长方形，一棱垂直于底面的四棱锥体，称为阳马。另一则为四个面都是勾股形的四面体，叫鳖月需。(见图1)斟l、堑堵，阳马，鳖月需显而易见，长方体体积为V=abc。abc分别是长方体的长，宽，高。刘徽的贡献在于用无穷分割和极限思想证明了}在一般情况下，用一个堑堵分隔出来的阳马和鳖膈，其体积之比恒为2l，V(阳马)一1／3abcV(鳖腧)一116abe这就是著名的刘徽原理，即在一个堑堵内，“阳马居二，鳖月需

4、居一，不易之率也’’刘徽进行了细致认真的论证(其证明过程从略)。刘徽原理及阳马，鳖月需体积公式的证明是刘馓体积理论的核心。对其它任意多面体，刘馓都将其分割成有限个长方体，堑堵，阳鳖I}；譬，求其体积之和加以解决，从而把他的体积理论建立在无穷分割的基础上。19世纪西方数学大师高斯曾设想：四面体体积不借助于无穷分割思想是不可鸵●17解决的。这一猜想后来成为希尔伯特《数学问题第三部分的基础，并由他的学生德恩作了肯定性的结论。刘徽早于他们一千六百多年前就得出了这一成果。二、割圆术，圆面积和祖冲之的圆周率《九章》提出的圆面积公式是半径乘半周，即s=l／2IR

5、，I为圆周长，R为圆半径。刘徽同样运用无穷分割和极限思想以割圆术对此加以证明。他从正六边形开始割圆，依次得到内接正十二边形，正二十四边形⋯⋯得到一个正6n边形序列。i9．是割圆的次数。设sn是正62边形的面积，Pn是边长(见图2)。显然割圆的次数i9．越多，圆面积和正62边形面积之差As—s-Sn越小。所谓“割之又割，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失也。”认为圆割到最后可得到一个和圆重合的正无穷多边形。由此证明了圆周长L=Lim62Pn崮2、刘徽割圆圈而62边形每边与圆周之间有余径Rn。以边长乘以余径加到正62一1边形面积上，

6、则大于圆面积。即有Sn<[S

7、)而该圆正内接无穷多边形的边长之和是L=nPn，从而证明了圆面积等于S：∑An一∑】／2XPn×R：】／2XLR刘徽就是这样通过对圆的无穷分割再求其和得到了圆面积的正确公式。这里显然包含了极为严谨的极限过程接下来是如何求周径L的问题《九章》“周三径一之率’’说显然是不严格的，需要较为正确地求出圆周率a刘徽按照上述割圆程序，利用正六边形边长等于圆半径的性质和勾殷定理，算出正六边形边心距和余径Ro，再次运用勾股定理，算出正十二边形边长Pi。不断重复上述过程，依次计算圆内接正12、Z4、48、96、19Z边形的边长，边心距及余径，确定半径为1尺的圆内接正

8、192边形的面积为314平方寸．就是该圆面积的近似值。利用已证明过的圆面积公式314=i01／2xI，得出L一1R62．8