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1、牟合方盖的绘图与体积计算问题沈其松学号：200820301038一：问题叙述：魏晋时数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中指出我国古代数学名著《九章算术》中的球体积公式（为球的直径）是错误的，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π∶4。为了纠正这一错误，刘徽在他的《九章算术注》中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积。正方体内两轴互相垂直的内切圆柱面相交所围的空间立体。由于这个立体的外形如同两把上下对称的正方形雨伞，所以称它为牟合方盖。刘徽通过计算，球体体积与“牟
2、合方盖”的体积之比应为π:4；显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积。所以本试验用MATLAB画出牟合方盖，并用“祖暅方法”，“微积分方法”，“蒙特卡罗方法”，分别计算牟合方盖的体积，来实现刘徽的愿望。二：问题分析：1.绘制牟合方盖绘制柱面x2+y2=R2与柱面x2+z2=R2所围立体在x-y平面上半部分曲面。由第二个方程解出z，得，则可以画出对应的曲面，当画四分之一，八分之一曲面时，只需设置r与t的范围就可以了。2.计算牟合方盖体积2.1祖暅方法：祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘
3、徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算。由于没有微积分，祖暅用一种等效的方法来计算。图 一图 二图 三他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一），设OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r，则OS=OQ=r，由勾股定理有PS=PQ=，故此正方形PQRS面积是r2-h2。如果将图一的立体放在一个边长为r的正立方体之内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于h2。（如图三）设由方锥顶点至方锥截面的高度为，不难发现对于任何的，方锥截面面积也必为h2。由此可知，在等高处，图二中阴
4、影部分的面积与图三中倒立的正立方锥体的横切面的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积相等。所以V牟=V正-V锥。2.2微积分方法：与祖暅的分析类似，牟合方盖的截面积为r2-h2，高为h，体积为：；由于MTALAB内集成了以Maple的内核开发了Matlab的符号计算工具箱。可以进行积分公式的符号计算，有了积分工具，可以用matlab直接计算出牟合方盖的体积公式。2.3蒙特卡罗方法：通过随机变量的统计试验求
5、近似解，对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为1除于根号M,不随积分维数的改变而改变。实验中用rand（n,3)产生n*3个0到1之间均匀随机数（n取值较大），随机数较均匀地分布在正方体内，随机变量X落入某个小空间内的概率仅与小空间的体积有关,而与小空间间位置无关，通过find（）函数，来统计落入牟合方盖点的个数为m个，最终体积为V=8*m/n。三：实验程序及注释%%%%%%%%%%
6、画牟合方盖的图形%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%牟合方盖的全图程序%%t=(0:40)/40*pi;x=cos(t);%%转换为极坐标y=sin(t);z=y;X=[1;1;1;1;1]*x;Y=[1;-1;-1;1;1]*y;Z=[1;1;-1;-1;1]*z;figure(1),subplot(2,2,1),mesh(X,Y,Z);title('牟合方盖全图')%%牟合方盖的1/2图程序%%h=2*pi/100;t=0:h:2*pi;r=0:0.05:1;x=r'*cos(t);%%转换为极坐标y=r'*sin(
7、t);z=sqrt(1-x.^2);figure(1),subplot(2,2,2),meshz(x,y,z);title('牟合方盖1/2图')colormap([001])%%牟合方盖的1/4图程序%%h=2*pi/100;t=0:h:pi;r=0:0.05:1;x=r'*cos(t);y=r'*sin(t);%%转换为极坐标zz=sqrt(1-x.^2);figure(1),subplot(2,2,3),meshz(x,y,zz);title('牟合方盖的1/4图');colormap([001])%axisoffview(120
8、,34)%%牟合方盖的1/8图程序%%h=2*pi/100;t=0:h:pi/2;r=0:0.05:1;x=r'*cos(t);y=r'*sin(t);%%转换为极坐标zz=sqrt(1-x.^2);fig
