关于周期函数定义的研究

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1、2012年2月湖南师范大学自然科学学报Vol．35No．1第35卷第1期JournalofNaturalScienceofHunanNormalUniversityFeb．，2012关于周期函数定义的研究*潘劲松，童丽娟(湖南机电职业技术学院人文科学系，中国长沙410151)摘要首先例举了周期函数的传统定义，并分析了它们的不足之处，得出了周期函数的传统定义均不太理想的结论．然后给出了弱周期函数的定义，并利用弱周期函数的基本性质讨论了有关函数的周期性．关键词定义域;周期函数;弱周期函数中图分类号O14

2、3文献标识码A文章编号1000-2537(2012)01-0021-06AResearchontheDefinitionofPeriodicFunction*PANJin-song，TONGLi-juan(DepartmentofHumanities，HunanMechanicalandElectricalPolytechnic，Changsha410151，China)AbstractInthefirstplace，thetraditionalperiodicfunctiondefinitioni

3、senumerated，andtheirshortagesareanalyzed．Resultsshowthatthetraditionalperiodicfunctiondefinitionisnotreallyperfect．Afterwards，theweakperiodicfunctionisdefined．Function'speriodicityisdiscussedbythebasicpropertiesofweakperiodicfunctionatlast．Keywordsdoma

4、in;periodicfunction;weakperiodicfunction函数是一个非常重要的数学概念，它的定义为:给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个x，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数记为f(x)，x称为自变量．其中D称为f的定义域，记作D(f)，y的取值范围称为f(x)的值域．周期函数是一类非常特殊的函数，表现在其图象每隔一段时间都要重复出现，具有循环往复直至无穷大的特点．但现实世界中某些具有周期性的运动是从某一时刻开始的，传统的周期函数的概

5、念不足以刻画该类［1-4］周期运动的规律性;另外，有些具有非常明显的周期特点的函数却不满足周期函数的经典定义．因此，给具有周期性特点的函数一个全面的刻画显得非常重要．以下讨论的函数都是实函数，我们用D(f)表示函数f(x)的定义域，R表示实数集合．InfD(f)表示D(f)的下确界，supD(f)表示D(f)的上确界．并且在该文中规定:当D(f)无下界时，规定InfD(f)=－∞，当D(f)无上界时，规定，supD(f)=+∞．1周期函数的几种传统定义［7］定义1在加法群G上定义的函数f(x)，如果

6、对于某个ω∈G，f(ω+G)=f(x)对一切x∈G成立，则称ω为f(x)的周期．具有不等于0(G的单位元素)的周期的函数f(x)称为周期函数．必须指出，如三角函数中的正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等重要的周期函数都不满足定义1．这是因为:对于余切函数、正割函数来说:数0不在定义域内，则这两个函数的定义域不构成加群;对于正切*收稿日期:2011-12-15基金项目:湖南省科技厅科技计划基金资助项目(2011FJ3130);湖南省教育厅科研资助项目(07B04)*通讯作者，E-mail:hn-s

7、yb@126．com22湖南师范大学自然科学学报第35卷πππππ函数、余割函数来说:和在它们的定义域内，但与的和不在它们的定义域内，所以正切函数、余割36362函数的定义域也不构成加群．从而以上4个三角函数在定义1下都不是周期函数．所以定义1作为周期函数的一般定义是不太妥当的．［5］定义2对于函数f(x)，如果存在常数l≠0，x∈D(f)，有f(x+l)=f(x－l)=f(x)成立，那么称f(x)为周期函数，l为f(x)的一个周期．［6］定义2'对于函数f(x)，如果存在常数l≠0，每个x∈D(f

8、)，有x±l∈D(f)且f(x+l)=f(x)成立，那么称f(x)为周期函数．显然定义2与定义2'是等价的．［7］定义3对函数f(x)，如果存在常数l≠0，每个x∈D(f)，有f(x+l)=f(x)成立，那么称f(x)为周期函数，l为f(x)的一个周期．不难发现:a)定义2与定义3是不等价的，定义2中周期函数的定义域是上、下无界的，而定义3中的周期函数的定义域可以是上、下有界的．b)定义2下的周期函数f(x)的图象，沿x轴任一方向，每隔l个单位(l为f(x)的周期)，