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《勤径网校2011智轩考研数学强化公开课--定积分的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011智轩考研数学强化内容节选--定积分的应用元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。智轩第6技上下原函横面积，左右反函纵面积；两轴轮换积分内，平移减函莫忘记。一、6大几何应用1.1平面图形的面积应用bì几何面积：S=òfxdx()(如图阴影部分，恒大于零)ïaÞíbï代数面积：S=òfxdx()(有正负值)îa称为左右曲不相交图形dÞS=ò[y()y-j()ydy]，c称为上下曲相交图形bÞS=ò[fx()-gxdx()]aìx=xt()t2íÞS=òytxtdt()'(
2、)勤径考研教育îy=yt()t11b2ÞS=òrqq()d2a11b22ÞS=ér()q-rq()ùdq2òaë21û对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去左反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在位置定正负。【例82】y=xx(-1)(x-2)与x轴所围部分的面积为212(A)ò0fxdx()(B)ò0fxdx()-ò1fxdx()212(C)-ò0fxdx()(D)-ò0fxdx()+ò1fxdx()〖解〗本题为求几何
3、面积，y与x轴的交点为x=0,x=1,x=2，123而xÎ[0,1]Þfx()³0;xÎ[1,2]Þfx()£0;故(B)正确。1222【例83】求曲线y=x与x+y=8所围图形的较小部分的面积S。2〖解〗两曲线的交点为(-2,2,2,2)()，为上下曲，则2æ212ö2æ212öS=òç8-x-xdx÷=2òç8-x-xdx÷-2è2ø0è2ø2é2ùê(22)x1213úæ4ö4=2arcsin+x8-x-x=2çp+-2÷=2p+ê22226úè3ø3êëúû01xx【例84】设平面曲线C:y=(1+e)
4、，C:y=e，过点(0,1)的平面曲线C是单调增加函数，过C12322上任一点Mxy(,)分别作垂直于x和y轴的直线l和l，记C，C与l所围成的面积为Sx()，记C，xy12x13C与l所围成的面积为S(x)，Sx()ºS(x)，求C的方程x=j(y)。2y2123〖解〗先画出草图。显然三曲线交点为(0,1)，C在最上面，C在最下面，C在中间。312xéx1xù1xxSx1()为上下曲，利用原函数：Sx1()=ò0êe-(1+e)údx=ò0(e-1)dxë2û2yS2(x)为左右曲，利用反函数：S2(x)=ò
5、1éëlny-j(ydy)ùû1xxy1xÞò0(e-1)dx=ò1ëélny-j(ydy)ûùÞ(e-1)=éëlny-j(y)ùû×y¢2勤径考研教育2¾¾¾¾¾¾®因为xy,始终满足C21(ex-1)=élnex-j(ex)ù×exÞj(ex)=+x1-12ëû2ex2ye=x11¾¾¾®j(y)=lny+-2y2x【例88】设fx()=òttdt，求y=fx()与x轴围成的几何面积。-1b【解】本题考查1：几何面积A=òfxdx()；考查2：隐含边界积分；考查3：快速判断0点个数。a2xfx()=òtt
6、dt，根据积分性质显然有：f(-1)=0,1f()=0,即两个交点。-1又，f¢(x)=xx，故x<0，单减，x>0单增，故y=fx()与x轴只有上述两个交点10ÞA=òfxdx()=2òfxdx()-1-1xx2130131x<Þ0fx()=ò-1ttdt=-ò-1tdt=-(1+x)ÞA=2ò-1(1+xdx)=。332ìb2y=fx()Þ=l1+ydx¢ïòaxï22ïìx=xt()t2221.2平面曲线的弧微分ds=(dx)+(dy)ÞííÞ=lò[xt¢()]+[yt¢()]dtïîy=yt()t1ï
7、q222ïr=rq()Þ=lòrq()+r¢()qdqîq1【例89】求半径为a圆的渐伸线[0,p]内的弧长。ìïx=a(costt+sint)〖解〗圆的渐伸线方程为：íïîy=a(sintt-cost)22pé()¢ùé()¢ùp()2()2p12。Þ=sacostt+sint+asintt-costdt=atcost+atsintdt=atdt=apò0êëúûêëúûò0ò021.3旋转体积记忆秘诀：上下原函横面积，左右反函纵面积。1.3.1设V,V分别表示曲线绕xy,坐标轴旋转的体积，则分为下列8类情形
8、xyb2Vx=pòy(xdx)a(1)上下单曲线图形旋转体积bVy=2pòxyxdx×()a(2)上下双曲图形旋转体积bìV=péy2()x-y2()xùdxïxòaë21û设y2为远曲线，y1为近曲线ÞíbïVy=2pòxyx[2()-yxdx1()]îadVx=2pòyxydy×()()c3对左右曲单曲线图形旋转体积d2Vy=pòx(xdy)c(4)左右曲勤径考研教育双曲线图形旋转
