数值计算方法习题84727

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1、试题一一、填空题（每空1分，共17分）31、如果用二分法求方程x+x−4=0在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。22、迭代格式x=x+α(x−)2局部收敛的充分条件是α取值在（）。k+1kk3⎧x0≤x≤1⎪3、已知S(x)=⎨132是三次样条函数，则(x−)1+a(x−)1+b(x−)1+c1≤x≤3⎪⎩2a=()，b=（），c=（）。4、l(x),l(x),L,l(x)是以整数点x,x,L,x为节点的Lagrange插值基函数，则01n01nnnn42∑lk(x)=()，∑xklj(xk)=()，当n≥2时∑(xk+

2、xk+)3lk(x)=()。k=0k=0k=07425、设f(x)=6x+2x+3x+1和节点x=k,2/k=,2,1,0L,则f[x,x,L,x]=k01n7和Δf=。06、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。∞7、{ϕ(x)}是区间]1,0[上权函数ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式族，其中kk=01ϕ(x)=1，则xϕ(x)dx=。0∫40⎧x1−ax2=b18、给定方程组⎨，a为实数，当a满足，且0<ω<2时，SOR−ax+x=b⎩122迭代法收敛。]0[⎧y=y+hf(x,y)⎧

3、yfxy′=(,)⎪n+1nnn9、解初值问题⎨的改进欧拉法⎨h]0[是⎩yx()00=y⎪yn+1=yn+[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]⎩2阶方法。⎡10a⎤⎢⎥T10、设A=01a，当a∈（）时，必有分解式A=LL，其中L为下三⎢⎥⎢⎣aa1⎥⎦角阵，当其对角线元素l(i=)3,2,1满足（）条件时，这种分解是唯一的。ii二、选择题（每题2分）(k+)1(k)1、解方程组Ax=b的简单迭代格式x=Bx+g收敛的充要条件是（）。（1）ρ(A)<1,(2)ρ(B)<1,(3)ρ(A)>1,(4)ρ(B)>1nb(n)(n

4、)2、在牛顿-柯特斯求积公式：f(x)dx≈(b−a)Cf(x)中，当系数C是负值时，∫a∑iiii=0公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）n≥8，（2）n≥7，（3）n≥10，（4）n≥6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次hh4、若用二阶中点公式y=y+hf(x+,y+f(x,y))求解初值问题n+1nnnnn24y′=−2y,y)0(=1，试问为保证该公式绝对

5、稳定，步长的取值范围为（h）。(1)0

6、x=3x+1；(2)x=1+对应迭代格式x=1+；n+1nn+1xxn33（3）x=x−1对应迭代格式x=x−1。判断迭代格式在x=5.1的收敛性，选一种收n+1n0敛格式计算x=5.1附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组AX=f，其中⎡43⎤⎡24⎤⎢⎥⎢⎥A=34−1，f=30⎢⎥⎢⎥⎢⎣−14⎥⎦⎢⎣−24⎥⎦（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，

7、写出SOR迭代法。⎧dy⎪=−y+1五、1、（15分）取步长h=1.0，求解初值问题⎨dx用改进的欧拉法求y)1.0(的⎪⎩y)0(=1值；用经典的四阶龙格—库塔法求y)1.0(的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足p(x)=f(x),p(x)=f(x),p′(x)=f′(x),p′(x)=f′(x),p(x)=f(x)0011001122六、（下列2题任选一题，4分）1、数值积分公式形如1∫xf(x)dx≈S(x)=Af)0(+Bf)1(+fC′)0(+fD′)1(04（1）试确定参数A,B,C,D使公式代数精度

8、尽量高；（2）设f(x)∈C]1,0[，推导1余项公式R(x)=∫xf(x)dx−S(x)，并估计误差。02、用二步法y=αy+αy+h[θf(x,y)+1(−θ)f(x,y)]n+10n1n−1nnn−1