区间上k段单调连续自映射的k阶迭代根new

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1、第18卷第4期数学研究与评论Vol.18No.41998年11月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONNov.1998X区间上k段单调连续自映射的k阶迭代根孙太祥　　席鸿建(广西大学数学系,南宁530004)摘　要　本文得到了区间I=[0,1]上的k段单调连续自映射具有k阶迭代根的充要条件.关键词　k段单调连续自映射,单峰自映射,反单峰自映射,反序函数,迭代根,特征区间.分类号　AMS(1991)58F08öCCLO172.11　引　言本文讨论区间I=[0,1]上的k段单调连

2、续自映射的k阶迭代根.对任意实数a

3、射.在文献[1]中,杨路、张景中证明了:如果N(F)22k,F(x)无n阶迭代根.然而,满足条件(A)的F(x)是否具有k阶迭代根呢

4、?以下我们将讨论这个问题.2k段单调连续自映射的k阶迭代根的性态[1]引理1　设F(x)是I上的k段单调连续自映射,S(F)是F(x)的极值点之集,那么,对任自然数n:n(1)F(x)也是I上的逐段单调自映射;2n(2)N(F)≤N(F)≤⋯≤N(F)≤⋯;X1995年9月11日收到.广西自然科学基金项目.—575—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.n-1ni(3)S(F)=∪{x∈(0,1)÷F(x)∈S(F)};i=0n+ss

5、i+1i(4)N(F)=N(F),这里s=min{i÷N(F)=N(F)}.□用H(F)表示引理1(4)中的s.[1]0引理2　设F(x)∈G(I)是个k段单调连续自映射.[p,q]是其特征区间,f(x)是F(x)的n阶迭代根,则(1)f(x)也是个逐段单调连续自映射;(2)f([p,q]<[p,q].□下面的定理1是文献[1]中定理3的推广.定理1　设I上的k段单调连续自映射F(x)满足条件(A),F(x)有n阶迭代根f(x)且f(x)是m段单调连续自映射,则m≤k-n+2.n证明　因F(x)=f(x),由引理1知23

6、n-1nN(f)≤N(f)≤N(f)≤⋯≤N(f)≤N(f)=N(F).如果n=2,显然有m≤k=k-n+2.因此,不妨设n≥3,并设H(f)=t,由N(F)2n-2=N(F)知t≤n.现证t≥n-1,用反证法,假设t≤n-2,那么N(f)=N(F)≤2n-22n-2n-2n-2N(f)≤N(F)=N(F),即H(f)=1.因[minF,maxF]<[minf,maxf],从n-2n-2而f(x)与F(x)有相同的极值点,从而特征区间相同,即f(I)<[p,q],f(x)在[p,q]上严格单调.(1)　若f(x)在[p,

7、q]上严格递增,因F(x)在I上取得p(或q),那么f(x)必在[p,q]上取得p(或q),即f(p)=p(或f(q)=q),从而F(p)=p(或F(q)=q),这与条件(A)矛盾.(2)　若f(x)在[p,q]上严格递减,因F(x)在I上取得p(或q),那么f(p)=q且f(q)=p,这时F(x)在[p,q]上取得p及q,这同样与条件(A)矛盾.2tt由上可知t≥n-1,由N(f)

8、射F(x)满足条件(A),F(x)有k阶迭代根f(x),则f(x)k-1是以F(x)的某个极值点a为极值点的2段单调连续自映射,并且(1)若k≥3,则N(f)=i+1iN(F),N(f)=N(f)+1,1≤i≤k-2;(2)若k≥3且0≤i≤k-2时,Ai≡{x∈i(0,1)÷f(x)=a}是单点集,且Ai≠Aj,i