对一类轨迹问题的探究

《对一类轨迹问题的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、万方数据50数学通报2015年第54卷第2期对一类轨迹问题的探究寇恒清(上海市黄浦区教育学院200023)l问题的提出在“圆锥曲线”一章中，我们研究过平面内到两个定点的距离的和、差、商为定值的点的轨迹．这里还有“积”没有研究，为此我们提出如下的问题1．问题1平面内到两个定点A，B的距离的积为常数的点P的轨迹是什么曲线?2问题的探究在解析几何中我们研究曲线的一般方法是先建立曲线的方程，然后根据曲线的方程来研究曲线的性质并画出曲线．令IABl=2c(c>o)，lPAl与lPBI的乘积为口2(n>o)，以直线AB为工轴，线段AB的中垂线为

2、y轴建立平面直角坐标系，可知A(一c，o)，B(f，O)，设P(z，y)，则由lPAl·IPBI=口2，可得~／(T+c’)2+y2·~／(T—f)2+y2=口2，化简得(z2+y2+f2)2—4f2丁2=口4，它就是所求轨迹的方程．那么上述轨迹方程表示什么图形呢?这是一个四次方程，它表示的曲线不是我们所熟悉的二次曲线．对于这个陌生的曲线，我们先研究一下它具有哪些性质．首先，容易得到上述轨迹关于z，y轴对称，也关于原点对称．其次，我们看一下曲线的范围．先确定z的取值范围．把方程(z2+y2+f2)2—4c222=口4化为y2一~／口

3、4+4c222一(z2+f2)，可得~／口4+4f222一(z2+c2)≥o，解得f2一口2≤z2≤c2+口2当c≤n时，z的取值范围是[一~／c2+口2，石回；当c>口时，z的取值范围是[一~／c2+口2，一~／c2一口2]U[~／c2一口2，~／c2+口2]．再确定y的取值范围．把方程(z2+y2+f2)2—4c222一口4化为z4+2(y2一f2)z2+(y2+f2)2一口4=0，令丁2=￡，可知方程￡2+2(y2一c2)￡+(y2+f2)2一n4一。有非负解，f(v2+c2)2一口4>0，所以(y2+f2)2一口4

4、一4n4—16y2f2≥o，【f2一y2≥0．当nm时。y的取值范围是[一丢，丢]；当n>厄c时，y的取值范围是[一√F了，~／口2一f2]．下面我们可以列表并用描点法作出曲线．为简化作图过程，我们直接利用GeoGebra软件来作出方程(丁2+y2+f2)2—4f2T2一口1的曲线．为便于呈现动态变化过程，我们设置滑杆n(口∈(o，5])，取c=2，然后输入相应方程，即可得出方程的曲线．根据这些图形可以进一步验证前面得到的结论，也可以发现一些新的结论．：户贵yI．一上．一一j=一一一一⋯⋯⋯一l⋯严至、二犍．．。：?：—鲥一一一圈l

5、4．万方数据2015年第54卷第2期数学通报51n=2．1，以一2，(￡=1．8时的截图．当n的值从4变到1．8的过程中，图形的变化恰似一个细胞分裂成两个细胞的过程(多么奇妙啊!)．蔓资一：I忙卫：蕃杰j≮：：：Z；==：：p寺!图2～底一．兀式。一一蓦么∑一∑户‘寺!图3：户寺：1．J栅J拓一一—n一一：一一_专，；，孑—·—-{k：j≤一一一一!煳⋯二．一㈦．：一jJ气E曰J气厨：归’寺：圈4上述曲线实际是是数学史上著名的卡西尼卵形线(Cassinian0vals)，通过上述研究过程，学生既可以感受数学的魅力，同时也能进一步领悟

6、解析几何的基本思想与研究方法．3问题的变式与拓展若将问题1中的“到两点距离”改为“到一点距离与到一直线距离”，则可得如下的问题2．问题2平面内到一点A与一直线z距离乘积为常数的点P的轨迹是什么曲线?以A为坐标原点，过A且与z垂直的直线作为z轴，建立平面直角坐标系．设P(z，了)，直线z的方程为z—c，点P到点A的距离与点P到直线Z的距离的乘积等于常数口z(口>o)，则~／≯+了2·lz—fI=n2，两边平方可得(工2+，)(z—f)2一口4，这就是点P的轨迹方程．这也是一个四次方程，它表示什么曲线呢?我们先研究它的简单性质．当f—o

7、时(点A在直线Z上)，显然曲线关于一4T，y与原点对称；此时方程可化为y2一≥一T2，．4由y2一兰一T2≥o，可得z∈[一Ⅱ，口]，y∈R．当c≠o时(点A不在直线z上)，曲线关于z，．4轴对称；此时方程可化为y2一南一z2，由y2≥O，可得一口2≤T(T—f)≤口2且z≠c，当c2—4口2≤o时，可得z的取值范围是[孕当c2—4口2>0时，可得z的取值范围是c)U(f'平]．下面我们直接利用GeoGebra软件来作出方程的曲线．图5是口一1，c—O的情形，图6是口=0．9，f一2的情形；图7是口一1，f一2的情形；图8是口一1．

8、2，f一2的情形．／；。＼＼。／j图5，√2I‘币·l＼ⅥJ．1·-2。图6显然，方程的曲线有且只有一条渐近线，其方程为z—c，它也是曲线的一条分割线(与曲线无公共点且将曲线分成两部分的直线)．当c2—4n2≤o时，它是曲线的唯一一条