污水处理数学模型的分析

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1、·力学·物理·高新技术研究进展2002(第数学9卷)污水处理数学模型的分析,‘2董雨滋张玉珠须文波(.;2.1山西财经大学基础部太原030006江南大学)[摘要】本文对用微分方程组描述的废水处理数学模型进行了研究,得到了方程组正平衡点存在且惟一,而且在第一象限内全局稳定,结论有明显的实际生态意义。【关键词】废水正平衡点全局稳定、一引言,:作为废水处理系统中的一个单元曝气池的作用是这样的向池中连续注人含氧的要净化,,,的废水废水和池中连续循环的微生物充分混合经过微生物的生化反应废水中的有机质被,,,。吸附且氧化生成新的微生物细胞降低了废水中有机质浓度达

2、到净化废水的目的1971年,on文「1〕在假定曝气池流动特性为完全混合的条件下再加上自氧化项的Mod模型来描述这,种生化反应的过程该模型是一自治的非线性常微分方程组一1uSX一。一一卜uSXS=(50S万~(XX)~一ol:+’:KX()Y(KS)告K十S,,,:,。其中S和X分别表示曝气池中有机质与微生物的浓度U~YK和K为正参数表示,,,,,一一定的物理意义S0X”分别表示Sx的流人曝气池中的浓度也是正参数:表示废水箕Q一卜、一、,J-,,。在曝气池中平均停留的时间(V是曝气池的容积Q是流量)是一个正参数对(1)无因次化后,(l)改写成、、z、.

3、‘.n,、t。_2一‘yly2、(y一yZ,+DylyZ夕,=(y丫一y)寸一D旦,一k2y2(2)Lkr+yl含走,1+lyJ卜二,,,SXkkot_V一二一~,l,Z,左1=,陀2一/‘才‘,口一,才‘一,广乙几少ry=而y=石两i而=怀表示5155尸一万瓦000~。,,希望的稳定值求导是对变量O进行的从系统控制的观点看可把Q(也即参数动看做操作,。y,和y:变量则视为控制变量文[l]用泰勒公式把(2)在变量稳定值的邻域内展开,取其线性项进行了研究。本文将用。,,2yt。y:0下面的讨论平面定性理论的方法直接对非线性方程组()进行分析讨论由于妻异

4、。均在尺耳进行、二方程组的简化和平面定性分析把(2)写作;一‘一‘Z一l一,一,2一l、定一,D一(,?一yl)y1yZ,D(旦)知(为答、2y知l+ylkL祝l丁yl一,,,al,a:,一D令d,=Ddo=夕?=夕旦占粤上面的方程写作L:董雨滋张玉珠须文波污水处理数学模型的分析,a;一;y1yZ:=a:一2夕LyZ夕=(y)b一夕(夕)占+一kZ夕2kl+ylkl十yl,,。式中参数均是正数参数b依赖流量Q可看作操作参数_.、、、、,:_/、、,‘,_、一‘一一人人,~,~一~二一一~~~。~dyl一dJ)2,“1<,1“2

5、行讨论(实际上也不会有这种情形)为此时苗苗关,al,a:不,。al。:则原点应是()的稳定平衡点但同时为零时原点不是平衡点由前知和是。正参数。‘尺考察()的轨线在三中的界性,,,易知轨线穿过yl轴和y:轴时轨线是进人尺对R了={(ylyZ){y,十丈章中已的子集..,、n、、。,。1+,,、,;。、二:、,二二、d(yy2)⋯/。=d,+,al+a:al+a:一:,d呀尺d子兰2卫生匕=(db一幻y<0}由于当)’时厂止)所以轨,·,,,‘‘’}、‘‘一一一一十一一一一一~一一dt行。,,线穿过T时指向原点一侧因此不论R谭中的始点(灵灵)位于何处只

6、要适当选取d值(d),,,,al+aZ)当t增加时(‘)的轨线不会越出有界子集D={(y,yZ)}yl+y:簇dd妻。1+,。二:}(此时点(灵灵)在D中)故有。1(关R定理)的轨线在耳中有界。)非负平衡点的存在性和稳定性态y:坐标分量是方程)非负平衡点的(走:+乃)(l一k:一乙)夕+占[(a:+aZ)(k:+b一l)圣十(走:+占)(走1+“2)]汉:一。2占2(at+a:+走,)=O(3),的非负根而yl坐标分量为。k+b夕1=(az+aZ-4))byZ(Zal+aZ:+:+l+aZ2一3)的△=b壳占一l+走乙走卜4a2al+。:+(判别式}

7、「()()()()〕(走1)(走:+占)(1一龙:一占)}=乙2{仁(。1+。2)(走:+占一1)一(壳:+占)(丸,+a泛)〕2+4。1走;(kZ,,十b)(k:+b一1){因此△妻O即(3)的根为实根其实根为,,,,,一2+一2一一‘玉(,“,一(l*。)告}一占a;+aZ)(走:+占一1)+(无:+占)(走1+aZ)]士}〔(亿,,,、、:+一,,’“+”;:+一,‘2,。易知当占1o(亿前取号)当走占l>o时玉>o,·‘2,’2)把灵代人(4)中可得川为,.。1、。2一2一2·12、,()(,、。(,。)(、)‘2)二l卜石气1一左

8、,一口]二川’“乙浮」,,。,。容易验证不论k:+b一10从而(*)总存在惟一的正平衡点(‘’