西南科技大学2009年线性代数(b)期末试题a

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1、西南科技大学2009《线性代数B》期末试卷（A卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1.四阶行列式det(a)中含有元素a的乘积项共有项。ij44答:6。3212.设行列式D=101，则第一列代数余子式之和等于。201答:0。3.若A,B均为同阶方阵，则AB不可逆的充要条件是。答:AB==00或。⎛⎞k111⎜⎟11k14.设A=⎜⎟，且A的秩为3，求k=。⎜⎟11k1⎜⎟⎝⎠111k答:−3。二、选择题（每小题3分，共12分）1、下列命题正确的是（）A．aaaaa不是五阶行列式的项；1123344255B.若n阶行列式主对角线上的元素全为零，则该行列式必为零；C.行列式中任一行的各

2、元素与其对应的代数余子式乘积之和为零；D.每一列元素之和为零的n阶行列式的值必等于零。答:D。⎛⎞AO2、若A,B均为n阶可逆方阵,则−3⎜−1T⎟=（）www.zhinanche.com⎝⎠OB()2n−1n−1−1A．(3)−AB；B.(3)−AB；C.(3)−AB；D.(3)−AB答:A。3.设n阶矩阵A,,BC满足关系式ABC=E,其中E为n阶单位阵，则有（）A．ACB=E;B.CBA=E;C.BAC=E;D.BCA=E答:D。4.设B≠0，则BA的秩RBA（）等于（）A．RA（）；B.RB（）；C.R（）ARB+(）；D.R()()ARB⋅命题共5页第1页答:A。三、计算题

3、（共70分）1031002041.（10分）计算下列行列式的值D=199200395.301300600103100204100+3100200+4解:D=199200395=200−1200400−5-------------------(3分)301300600300+1300600314=100×−12−5----------------(4分)130=2000-----------(3分)⎛⎞000?2009⎜⎟100?0⎜⎟−12.（10分）设矩阵A=⎜⎟020?0，求A。⎜⎟⎜⎟@@B@@⎜⎟⎝⎠00020080⎛⎞000?2009⎜⎟100?0⎜⎟⎛⎞0A⎜⎟1解:（1

4、0分）A=020?0=⎜⎟，-----------------(2分)⎜⎟⎝⎠A20⎜⎟@@B@@⎜⎟⎝⎠00020080−1⎛⎞0A-12A=⎜−1⎟---------------------------------------(4分)A0www.zhinanche.com⎝⎠1⎛⎞010?0⎜⎟0012?0⎜⎟=⎜@@@B@⎟--------------------------(4分)⎜⎟⎜⎟000?12008⎜⎟⎝⎠1200900?0命题共5页第2页⎛⎞010⎛⎞100⎛110−⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟3.（10分）设ABC===100,001,203有AXB=C，求X。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟

5、⎝⎠001⎜⎟⎝⎠010⎜⎝312⎟⎠−1−1解:由AXB=C，得X=ACB---------------------------(5分)⎛⎞010⎛⎞100⎛110−⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟ABC===100,001,203⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001⎜⎟⎝⎠010⎜⎝312⎟⎠⎛⎞010110100⎛⎞−⎛⎞⎛230⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟则X==100203001101−----------------（5分）⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001312010⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠⎜⎝321⎟⎠4.（10分）当λ为何值时方程组⎧xxx123++=λ4⎪2⎨−++=xxx123λλ⎪xxx−+=−24⎩123无

6、解，有唯一解，有无穷多解。⎛⎞11λ⎜⎟解:设方程组的系数矩阵为A，则A=−1λ1--------(2分)⎜⎟⎜⎟⎝⎠112−4（1）A≠0，得λλ≠1,≠−时，方程有唯一解；-------------------(3分)5⎛⎞−−1121⎛1121⎞⎜⎟⎜⎟（2）当λ=1,，增广矩阵B=−1112→0011⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−5541⎜⎝0000⎟⎠www.zhinanche.comRARB()==()2，故此时方程有无穷解---------------------------(3分)4（3）λ=−，方程无解---------------------------(2分)55.（10

7、分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η,,ηη是它123的三个解向量且命题共5页第3页⎛⎞12⎛⎞⎜⎟⎜⎟23ηη=+⎜⎟,η=⎜⎟123⎜⎟34⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠45⎝⎠求该方程组的通解。解:此方程组的导出组的基础解系含有431−=个解向量（3分），而⎛⎞0⎜⎟1ξηηη=−+=2()⎜⎟是导出组的一个非零解，故ξ就是基础解系（4分）。所123⎜⎟2⎜⎟⎝⎠3以，方程组的通解为η=kξη+（为任意常数）（3分）k1⎛⎞001⎜⎟6.（10分）