概率论与数理统计4new

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1、习题四1.设随机变量X的分布律为X−1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.11111【解】(1)EX()=−×+×(1)0+×+×12=;828422212121215(2)EX()=−(1)×+0×+1×+2×=;828441(3)E(2X+3)=2()3EX+=×2+=3422.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5142332415CCCCC

2、CCCCC90109010901090109010=0.583=0.340=0.070=0.007=0=0555555CCCCCC100100100100100100故EX()=0.58300.34010.07020.00730405×+×+×+×+×+×=0.501,52DX()=∑[xi−EX()]Pii=0222=(00.501)−×0.583(10.501)+−×0.340+⋯+(50.501)−×0=0.432.3.设随机变量X的分布律为X−101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,

3、E(X2)=0.9,求P，P，P.123【解】因P+P+P=1……①,123又EX()=−(1)P+0iP+1iP=P−P=0.1……②,123312222EX()=−(1)iP+0iP+1iP=P+P=0.9……③ 12313由①②③联立解得P=0.4,P=0.1,P=0.5.1234.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？1【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则NPA()全概率公式∑PAX{

4、=kPX}{i=k}k=0NNk1=∑P

5、X{=k}=∑kPX{=k}k=0NNk=01n=iEX()=.NN5.设随机变量X的概率密度为⎧x,0≤x<,1⎪f（x）=⎨2−x1,≤x≤,2⎪⎩,0其他.求E（X），D（X）.+∞122【解】EX()=∫−∞xfxx()d=∫0xxd+∫1x(2−xx)d123⎡13⎤⎡2x⎤=x+⎢x−⎥=1.⎢⎣3⎥⎦⎣3⎦01+∞1272232EX()=∫−∞xfxx()d=∫0xxd+∫1x(2−xx)d=6221故DX()=EX()[()]−EX=.66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X

6、）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ−4X.【解】(1)EU[]=E(2X+3Y+1)=2()3()1EX+EY+=×+×25311144.+=(2)EV[]=EYZ[−4]X=EYZ[]4()−EX因YZ,独立EYEZ()i()4()−EX=11845×−×=68.7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X−2Y），D（2X−3Y）.【解】(1)EX(3−2)Y=3()2

7、()EX−EY=×−×=33233.22(2)D(2X−3)Y=2DX()(3)+−DY=×412916192.+×=8.设随机变量（X，Y）的概率密度为2⎧k,0

8、x,0≤x≤,1⎧e,y>5,fX（x）=⎨fY（y）=⎨⎩,0其他;⎩0,其他.求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值 12EX()=∫xxxi2d=,03+∞−(y−5)令zy=−5+∞−z+∞−zEY()=∫5yedy5∫0edz+∫0zedz=+=516.由X与Y的独立性，得2EXY()=EXEY()i()=×=64.3方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为−(y−5)⎧2ex,0≤x≤1,y>5,fxy(,)=f()xfi()y=⎨XY⎩0,其他,于是+∞

9、11+∞2−(y−5)2−(y−5)EXY()=∫∫50xyxi2eddxy=∫02dxxi∫5yedy=×=64.310.设随机变量X，Y的概率密度分别为−2x−4y⎧2e,x>,0⎧4e,y>,0fX（x）=⎨fY（y）=⎨⎩,0x≤0;⎩,0y≤.0求（1）E（X+Y）;（2）E（2X−3Y2）.+∞+∞+∞−2x−2x+∞-2x【解】()X=xf()dxxxi2edx=−[xe]edx∫−∞X∫00∫0+∞1−2x=∫edx=.02+∞+∞1−4yEY()=yf()dyyyi4edy=.