数值算法4-4new

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1、第四章方程求根§4.4弦截法牛顿迭代法虽然有较高的收敛速度，但要计算导数值f’(x)，这对复杂的函数f(x)是不方便的，k因此构造即有较高的收敛速度，又不含f(x)的导数的迭代公式是十分必要的。一．单点弦截法f(x)f(x)为避免导数的计算，改用差商k0xxk0来替代牛顿迭代公式中的导数f’(x)，于是得kf(x)kxx(xx)k1kk0f(xk)f(x0)（1）2按公式（1）进行迭代计算就称单点弦截法。单点弦截法的几何意义如图1所示。yyf(x)Ap0Bpk*xoxk1xkx0x图1.单点弦截法3按公式（1）求得的x实际上是弦AB与x轴交点的k+1横坐标，下一步再以

2、点（x,f(x)）和（x,f(x)）k+1k+100作弦交x轴得x等等。每次作新的弦都以（x,f(x)）k+200作为一个端点，只有一个端点不断更换，故名为单点弦截法。由（1）式易知其迭代函数是：f(x)(x)x(xx)0f(x)f(x)04因为f(x*)=0，故求导数得*f'(x)*'(x)1(xx)0f(x)0*f'(x)1*f(x)f(x)0*xx0**f(x)f(x0)*当初值x0充分接近x时，*很接近f’(x)，xx0且符号也相同，即，0<’(x*)<1，所以（1）为线性收敛的。5二．双点弦截法f(x)f(x)如果牛顿公式中导数f’(x)

3、改用来kk1kxx代替，就可以得到迭代公式：kk1f(x)kxx(xx)k1kkk1f(x)f(x)kk1（2）由公式（2）确定的迭代法称双点弦截法。双点弦截法的几何意义如图2所示。6ypkyf(x)xk1xk1xk2o*xxxkpk1pk1图2.双点弦截法它是用弦AB与x轴交点的横坐标x代替曲线k+1y=f(x)与x轴交点的横坐标x*的近似值。7双点弦截法的收敛性与牛顿迭代法一样，即在根的某个邻域内，f(x)有直至二阶的连续导数，且f’(x)0，具有局部收敛性，同时在邻域任取初值x、x迭代均收敛。可以证明，双点弦截法具011有超线性敛速，收敛的阶1

4、51.618。283例：用双点弦截法求xx10方程在x=1.5附近的根，使绝对误差精确到10-4。解：取初值x=1.5，x=1.4，按公式（2）得01迭代格式：3(xx1)(xx)kkkk1xxk1k33(xx1)(xx1)kkk1k1按上式计算得：x=1.335222x=1.325413x=1.324724x=1.324725取x*1.3247。9