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1、《工程数学第九版》ErwinKreyszigAdvancedEngineeringMathematics,9E第2章二阶线性常微分方程2.1二阶齐次线性常微分方程2.2具有常数系数之齐次线性ODEs2.3微分算子(选读)2.4模型化：自由振荡(质量－弹簧系统)2.5尤拉－柯西方程2.6解之存在性与唯一性，隆斯济安2.7非齐次ODEs2.8模型化：受迫振荡，共振2.9模型化：电路2.10以参数变易法求解第2章二阶线性常微分方程P.80待定系数法在本节中，将由齐次向前推进到非齐次线性ODEs(1)其中。我们将看出(1)式之「通解」为对应齐次ODE(2)之通解

2、与(1)式之特解的和。此二新名词(1)式之通解与(1)式之特解，定义如下。第2章二阶线性常微分方程P.80[定义]通解，特解第2章二阶线性常微分方程P.80定理1(1)式之解与(2)式之解的关系第2章二阶线性常微分方程P.80定理2非齐次ODE之通解包括所有解第2章二阶线性常微分方程P.81定理2[证明]令y*为(1)式在I上的任意解，且令在I上的任意x为x。令(3)0式为(1)式在I上的任意通解。此解存在。的确，由2.6节中之定理3得知y＝cy＋cy存在，因为连续性的假设之故，且依据h1122将在2.10节中示出之作图得知y存在。现在，由刚才证明之定p

3、理1(b)知，差Y＝y*－y为(2)式在I上之解。在x处，我们有p02.6节中之定理1意味着对这些条件而言，正如对任何在I上之任何其它初始条件一样，存在之(2)式的唯一特解可经由在yh中指定适当之c、c值求得。依此及y*＝Y＋y，可知该项陈述12p成立。第2章二阶线性常微分方程P.81待定系数法的选择法则第2章二阶线性常微分方程P.82表2.1待定系数法第2章二阶线性常微分方程P.82范例1基本法则(a)之应用求解初始值问题(5)解步骤1.齐次ODE之通解ODEy”＋y＝0有下列通解步骤2.非齐次ODE之解y首先尝试y＝Kx2。接着，尝试y”ppp＝2K

4、。利用代入法，2K＋Kx2＝0.001x2。欲使此式对所有x皆成立，每一x幂次(x2与x0)之系数在两侧均必须相同；所以K＝0.001且2K＝0，结果是矛盾的。第2章二阶线性常微分方程P.82范例1(续)表2.1中的第二行建议选择则令在两侧x2、x、x0的系数相等，得出K＝0.001，K＝0，2K212＋K＝0。因此K＝－2K＝－0.002。由此得出y＝0.001x2－002p0.002，且第2章二阶线性常微分方程P.82范例1(续)步骤3.初始值问题之解令x＝0并利用第一个初始条件，得出y(0)＝A－0.002＝0，因此A＝0.002。利用微分及第二个

5、初始条件，且由此得出答案(图49)第2章二阶线性常微分方程P.83范例1(图49)图49示出y以及y在其上振荡的二次拋物线y。此图实际上像p正弦曲线，因为余弦项小了约1/1000的因子。第2章二阶线性常微分方程P.83范例2修正法则(b)的应用求解初始值问题(6)解步骤1.齐次ODE之通解齐次ODE之特征方程式为λ2＋3λ＋2.25＝(λ＋1.5)2＝0。因此，齐次ODE有通解第2章二阶线性常微分方程P.83范例2(续)步骤2.非齐次ODE之通解在右侧的函数e－1.5x通常会选择Ce－1.5x。但由y可看出该函数为对应于特征方程重根之齐次hODE的解。因

6、此，依据修正法则，我们必须将选择的函数乘以x2。亦即，我们选择则将上述各式代入指定之ODE中，并省略因子e－1.5x。得出第2章二阶线性常微分方程P.83范例2(续)比较x2、x、x0之系数，得出0＝0，0＝0，2C＝－10，因此C＝－5。由此得出解y＝－5x2e－1.5x。所以，指定ODE有通解如p下第2章二阶线性常微分方程P.83范例2(续)步骤3.初始值问题之解令y中的x＝0，并利用第一个初始条件，可得y(0)＝c＝1。将y微分，得出1由上式与第二个初始条件，可得y’(0)＝c－1.5c＝0。因此，21c＝1.5c＝1.5。由此得出答案(图50)2

7、1该曲线以水平切线开始，交x轴于x＝0.6217(其中1＋1.5x－5x2＝0)，且当x增加时，曲线由下方趋近于x轴。第2章二阶线性常微分方程P.83范例2(图50)第2章二阶线性常微分方程P.84范例3总和法则(c)的应用求解初始值问题(7)解步骤1.齐次ODE之通解特征方程式显示齐次ODE之实数通解为第2章二阶线性常微分方程P.84范例3(续)步骤2.非齐次ODE之解我们写出y＝y＋y，其中y对pp1p2p1应于指数项，且y对应于其它两项的总和。在此令p2代入指定之ODE并省略指数因子，得出(0.25＋2．0.5＋5)C＝1，因此C＝1/6.25＝0

8、.16且y＝0.16e0.5x。p1现在令y＝Kcos10x＋Msin10x，如