线性代数1-42

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1、第1讲用矩阵消元法解线性方程组一、mn矩阵空间1、矩阵的概念mn矩阵aa1112a1naaa21222n[]aAijmnmnaaamm12mnmn是A的型，a是A的位于第行第ij列的元素.ijnn矩阵称为n阶方阵.1n矩阵称为n元行向量，n1矩阵称为n元列向量，二者统称为n元向量.r1rA2[,,,]cccmn12nrm其中，r为A的第行i(1im,2,,)，c为A的第j列(1jn,2,,).ij2、矩阵的线性运算加法[]aba[][b]ijmnijmnijijmn数量

2、乘法ka[][]kaijmnijmn加法与数乘合称线性运算.3、mn矩阵空间设P是一个数域，如实数域R、复数域C.数域P上的mn矩阵的全体mnPP{[aa]

3、}ijmnij是一个非空集合，对加法与数乘都封闭，且满足运算律①ABBA②()ABCABC()③AOA④A()AO⑤1AA⑥kl()()AklA⑦kk()ABAkB⑧()klAklAAmn称P为数域P上的mn矩阵空间.4、n元向量空间数域P上的n元(列)向量空间-1-a1na2PPaa,,,a12na

4、n二、矩阵的行相抵关系1、矩阵的初等行变换第1、2、3类初等行变换rrijABmnmn()ijrrijrik)ABmnmn(0kri/krrijlABmnmn()ijrrijl若矩阵A可经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称A与B行相抵.2、行阶梯形矩阵·矩阵的秩有限次初等行变换A行阶梯形矩阵Bmn00bbbbb11jj12,111jj2,rr11jb1n0000bbbb22jj2,rr12j2n000000bbrjrrn

5、0000000000000000其中bbb0(jjj).称bb,,,b为B的主元.12jj12rjr12r12jj12rjr定理1(1)初等(行)变换不改变矩阵的秩；(2)行阶梯形矩阵的秩就是其非零行数.□注若A与行阶梯形矩阵B行相抵，则rr()()ABB的非零行数r.3、行简化阶梯形矩阵·矩阵的列向量之间的线性关系有限次初等行变换有限次初等行变换A行阶梯形矩阵B行简化阶梯形矩阵Cmn001cccc1,jjjj12211,101,11,rr10c1,j1

6、c1n000001cc0cc2,jj212,rr12,j12n000000001ccrj,1rrn0000000000000000000000其中C的主元全为，主元列的其他元素全为10.-2-定理2矩阵经过初等行变换所得的行简化阶梯形矩阵唯一确定，称之为原矩阵的行最简形或行相抵标准形.□定理3初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系.□注1行简化阶梯形矩阵的列向量之间的线性关系最明显.注2可利用矩阵的列向量之间的线性关系来验证行相抵标准形的计算结果

7、.112562253145例1设矩阵A.341623165396(1)求A的行相抵标准形R；(2)指出A的列向量之间的线性关系.112562rr2120779169解(1)Arr313用倍加变换“打洞”rr41077916907781581125620779169rr32rr420000000001111125620779169rr34行阶梯形矩阵000111000000112013

8、077070rr135向上“打洞”rr239000111000000101003011010r2/7R，rr12000111000000R就是A的行相抵标准形.(2)A的列向量之间的线性关系与R的列向量之间的线性关系完全一致，应有ccc，321ccc，542cc3c.614注R的主元列为ccc,,.124-3-三、用矩阵消元法解线性方程组mn线性方程组axaxaxb,1111221nn1