3、(2x1)-压缩映射,则存在唯一的x0A,使得f(x0)=x0(2x2)
4、L
5、x1-x2
6、.成立,即方程f(x)=x有唯一的不动点.3()设(2x)=1+x,x[2,4],证明:该题的第()小问是压缩映射在解决初等数(x)A.学问题中的运用.压缩映射若运用在函数上,则是()设(x)A,如果存在x0(1,2),使得函数值的压缩迭代;若运用在数列上,则
7、表现为数x0=(2x0),那么这样的x0是唯一的;列的项的差的绝对值的等比放缩(缩小).()设(x)A,任取x1(1,2),令xn-1=纵观近年来全国各省市的高考数学试题,许(2xn),n=1,2,.证明:给定正整数k,对任意多省市都把压缩映射的思想贯穿在数列问题的证k-1L明上,形成以高等数学知识为背景,考察考生的数的正整数p,成立不等式
8、xk+p-xk
9、
10、x2-1-L学能力(主要是对式子的变形能力、推理论证能x1
11、.力、计算能力)和创新意识,以及进入高校学习的1背景解读潜能.该题的第()小问从
12、初等数学的角度揭示了2初等运用实变函数与泛函分析中度量空间(又叫Banach空例1(09,重庆文,21)已知a1=1,a2=4,1间)的一个重要的概念压缩映射(Contractan+1*an+2=4an+1+an,bn=,nN.mapping):设X是度量空间,T为(X,)(X,)an的映射,如果存在一个数(0<<1),使得对一切()求b1,b2,b3的值;x,yX,有(Tx,Ty)(x,y)都成立,则称T()设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项为X上的压缩映射(Cont
13、ractmapping).和,求证:Sn17n;有了它,我们不难定义初等的压缩映射的11()求证:
14、b2n-bn
15、<n-2.6417定义:解析()因为a2=4,a3=17,a4=72,所以定义设A是一个非空集合,f:AA的一1772个映射,若对x1,x2A,(0,1),使得b1=4,b2=,b3=;417
16、f(x1)-f(x2)
17、
18、x1-x2
19、an+2an都成立,则称f是A上的一个压缩映射.()由an+2=4an+1+an得=4+即an+1an+1其几何意义是:点x1和点x2经过f映射后
20、,1bn+1=4+它们的像的距离缩短了,不超过
21、x1-x2
22、的(0bn<<1)倍.所以当n2时,bn>4于是c1=b1,b2=17,34数学通报2010年第49卷第8期cn=bnbn+1=4bn+1>17(n2)2513=+x4=,x4=,3821所以Sn=c1+c2++cn17n由x2>x4>x6猜想:数列{x2n}是递减数列.117()当n=1时,结论
23、b2-b1
24、=<成立464下面用数学归纳法证明.11(1)当n=1时,已证命题成立;当n2时,有
25、bn+1-bn
26、=4+-4-
27、bnbn-1(2)假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,bn-bn-111=
28、bn-bn-1
29、2
30、bn-1-bn-2
31、易知x2k>0,那么x2k+2-x2k+4=1-bnbn-117171+x2k+11111x2k+3-x2k+117n-1
32、b2-b1
33、<6417n-2(n2)=1+x2k+3(1+x2k+1)(1+x2k+3)所以
34、b2n-bn
35、
36、bn+1-bn
37、+
38、bn+2-bn+1
39、+x2k-x2k+2=>0+
40、b2n-b2n-1
41、(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1
42、+x2k+3)n-1n2n-21111即x2(k+1)>x2(k+1)+2+++=4171717也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合n-111-1(1)和(2)知,命题成立.n1171711*<n-2(nN)()当n=1时,
43、xn+1-xn
44、=
45、x2-x1
46、=4164171-171,结论成立.6评注第()问由已知数列{an}的
