一道高考数学试题的高等数学背景new

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1、万方数据2010年第49卷第8期数学通报33一道高考数学试题的高等数学背景周勇(四川省华蓥中学638600)2006年广东省高考数学试题的第20题(压轴题)是一道有着浓郁的高等数学背景的创新试题，题目如下：题目A是定义在[2，4]上且满足如下条件的函数9(z)组成的集合：①对任意的z∈[1，2]，都有妒(2z)∈[1，2]；②存在常数L(0

2、)，使得z。=9(2z。)，那么这样的z。是唯一的；(11)设∞(z)∈A，任取z1∈(1，2)，令z。一1=190(2x。)，7l=1，2，⋯．证明：给定正整数k，对任意rI一1的正整数P，成立不等式IzH，一ztl≤兰了Izz—z1I．1背景解读该题的第(I)小问从初等数学的角度揭示了实变函数与泛函分析中度量空间(又叫Banach空间)的一个重要的概念压缩映射n1(Contractmapping)：设X是度量空间，丁为(X，』D)一(X，lD)的映射，如果存在一个数日(O<口<1)，使得对一切．27，Y∈X，有ID(n，乃)≤即(z，y)都成立，则

3、称T为X上的压缩映射(Contractmapping)．有了它，我们不难定义初等的压缩映射的定义：定义设A是一个非空集合，厂：A—A的一个映射，若对VX。，z：∈A，jA∈(o，1)，使得f(x1)--f(x2)I≤Azl—z2都成立，则称厂是A上的一个压缩映射．其几何意义是：点z，和点z。经过，映射后，它们的像的距离缩短了，不超过Iz。一z。l的A(O

4、初等的压缩映射原理：定理设A是一个闭区间，f：A—A的一个压缩映射，则存在唯一的z。∈A，使得f(x。)=z。成立，即方程，(z)=z有唯一的不动点．该题的第(Ⅲ)小问是压缩映射在解决初等数学问题中的运用．压缩映射若运用在函数上，则是函数值的压缩迭代；若运用在数列上，则表现为数列的项的差的绝对值的等比放缩(缩小)．纵观近年来全国各省市的高考数学试题，许多省市都把压缩映射的思想贯穿在数列问题的证明上，形成以高等数学知识为背景，考察考生的数学能力(主要是对式子的变形能力、推理论证能力、计算能力)和创新意识，以及进入高校学习的潜能．2‘初等运用例1(09，重

5、庆文，21)已知a，=1，a2=4，口。+2=4a。+1+口。，b。=竺世，nEN’．Oi”(I)求bl，b2，b。的值；(11)设c。=b,b。+。，S。为数列{c。)的前n项和，求证：S。≥17n；1(n1)求证：Ibz一一b—I<壶‘布音-解析(I)因为a2=4，a3=17，a‘=72，所以bl=4，b2=竿，b3=鬈；(1I)fljn。+z。4a．+l+口。得瓮著24+a』n+Ll即bn+1=4+去所以当恕≥2时，b。>4于是fl=bl，b：=17，万方数据34数学通报2010年第49卷第8期所以S。=c1+f2+⋯+c。≥17n(Ⅲ)当趋=l

6、时，结论162—6。I=丢<警成立当珂≥2时，有Ib．+l--bnI=l4+以146。1=l=l笱}1沪¨。I≤萨1慨一。一6n--2+I≤⋯≤南162—61I<1·嘉(n≥2)所以Ib2。一玩I≤lb。+。一6。I+Ib。+：一6。+。J+⋯+f62。一62。一1丢[(南)”1+(南)”+⋯+(南)2誓2]=丢．蝉<击．击张㈣1一订、评注第(工)问由已知数列{n。)的递推关系以及{a。}与{b。)的关系便可求解：第(Ⅱ)问首先利用{a。}与{b。)的关系找出数列{b。)的递推关系，然后确定出b。的范围，并进行适当的放缩即可得证．第(Ⅲ)问首先利用{b

7、。}的递推关系并结合第(Ⅱ)问证得的结论b。+。b。>17对Ib。+1一b。I进行转化得到压缩映射式I巩+。一玩I≤刍I以一b。一。I，再对求证式的左端进行变形Ib。。一b。I=I(巩+l--b。)+(玩+2--b。+1)+⋯+(62。一b2。一1)I，并利用绝对值不等式的性质对其进行放缩为Ib。。一玩I≤Ib。+，一b。l+Ib。+：一b什。I+⋯+lbz。一b2．-1I，最后利用压缩映射式16n+l--巩I≤刍f6。一b。一，l将其放缩为一个等比数列求和得证．本题的综合性强，思维量大，变形技巧高，是一道综合运用数学知识检测考生数学方法和推理论证能力

8、的好题．例2(09，陕西理，22)已知数列{z。)满足，z1：昙，z。+1：f}，行ENN·．