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1、数学物理方程u=u(t,x)=u(t,x,x,x)123第一章绪论数学物理方程：物理量的变化规律指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科↔函数u关于t及x的各阶偏导数满足的关系式(等式)学等的研究中归纳出来的一些偏微分方程、常微分方程、积分方程、积分微分方程等，通常指偏微分方程(称为偏微分方程---PartialDifferentialEquation)ò悠久的历史：ò一般形式：N2F(x,x,L,x,u,Du,L,Du)=0(*)十八世纪就有了著名的弦振动方程u−au=0，12nttxx其中d’Alembert(1717-178
2、3,研究弦振动方程的先驱)在三篇(x,x,L,x)为自变量；12n论文中给出了偏微分方程：u=u(x,x,L,x)为未知函数；1744：流体的平衡和运动；12n1746：风的起因；⎛∂u∂u⎞Du=⎜,L,⎟,1747：弦振动问题⎜∂x∂x⎟⎝1n⎠ò广泛的应用：⎛k⎞k∂u传统的：Du=⎜,k+L+k=k⎟⎜∂xk1L∂xkn1n⎟流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)⎝1n⎠Euler方程组(无粘流体)(k=2,L,N)弹性力学：Saint-Venant方程组ò例子：电动力学：Maxwell方程组(电磁场)(1)u=u(
3、x,y):u=0y量子力学：Schrödinger方程⇒u=f(x)(f为任意函数)Dirac方程(微观粒子)(2)u=u(x,y):u=0xy广义相对论：Einstein方程(引力场)⇒u=f(x)+g(y)(f,g为任意连续可微函数)规范场：Yang-Mills方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学……(3)u=u(x,y):u=w(x,y)(w为已知函数)xy交叉学科：xy生物数学：生物种群动力学、传染病动力学、DNA分子动⇒u=∫∫w(s,t)dsdt+f(x)+g(y)x00y力学(f,g为任意连续可微函数)金融数学：随机微分方
4、程社会科学、经济学、……(4)u=u(x,y):u=uxyò特点作变量代换s=x+y,t=x−y⇒(1)实际问题的数学描述多为非线性方程，难度比线性问u=us+ut=u+u题大得多；但借助于线性问题的结果，可以简化非线xsxtxst性问题；uy=ussy+utty=us−ut(2)多种因素的联合作用和资相互影响产生非线性方程⇒u=0s组，比单个方程的研究要困难得多；⇒u=f(t)(f为任意函数)(3)不再局限于传统领域，其他一些领域如化学、生物学、⇒u(x,y)=f(x−y)农业、环保、经济等不断提出一些重要的偏微分方程(4)非线性定解条件
5、的研究是一个很有意义的研究领域；一般地，au+bu=0(a,b为常数)xy(5)与数学其他分支的关系：⇒u=f(bx−ay)几何、泛函分析、拓扑学及群论、计算方法等.§1偏微分方程的基本概念与研究内容(5)u=u(t,x):1．什么是偏微分方程？u−u=0(弦振动方程)ttxx物理量(如位移、温度等)-----------时间、空间位置u−u=0(热传导方程)txxbb(6)u=u(x,y):u+u=0(调和方程)xxyyu-----------------------t,x=(x,x,x)123一阶线性非齐次32u+xu=x(7)u=u(
6、x,y):u=0txxxyyu−iu=0(Quantum二阶线性齐次Mechamics)txx⇒u=f(x)+xf(y)+g(y)+yg(x)11u+u=0(Vibrating四阶线性齐次Bar)ttxxxx一阶半线性非齐次32u+xu+u=2(8)u=u(x,y,z):u=0txzu=u3+u(Wavewith二阶半线性齐次interaction)ttxx⇒u=f(x,y)(f为任意函数)u+uu+u=0三阶半线性齐次(KdV)txxxxu+uu=0(Burger一阶拟线性齐次's)⎧⎪ux−vy=0tx(9)⎨(Cauchy-Riema
7、nn)方程组二阶拟线性齐次utt=σ(ux)x⎪⎩uy+vx=0一阶完全非线性非齐次u+f(u)=g(t,x)tx2．相关基本概念3．研究内容：阶数：未知函数偏导数的最高阶数；一般规律+附加条件维数：空间变量的个数；bb（对发展型方程：维数=自变量个数－1；对非发展型方程：维数=自变量个数）方程+定解条件(初始条件、边界条件)解：设(x,L,x)∈Ω(求解区域)，若函数称为定解问题1n定解问题的适定性：存在性唯一性稳定性u=u(x,L,x)在Ω内足够光滑并且在Ω内1n恒满足偏微分方程(*),则称u为(*)的经典解§2两个自变量的二阶线性偏微
8、分方程自由项：方程中与未知函数无关的项u=u(x,y):NG(x1,L,xn,u,Du,L,Du)=g(x1,L,xn)a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2
