陕西教育学院学报new

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1、2006年11月陕西教育学院学报Nov．2006第22卷第4期JournalofShaanxiInstituteofEducationVl01．22No．4关系与映射魏裕博，周脉东(陕西教育学院数理工程系，陕西西安710061)摘要：集合论是现代数学的理论基础，映射是集合论中用以建立现代数学概念和理论的基本工具和手段。集合与映射是整个中学数学的理论基础。关系是在高等代数学中才出现的概念。关系和映射两个“距离”很远，看似不相干的概念，实则有着密不可分的联系：关系是映射的推广，且均可用集合表示。关键词：关系；映射；等价关系中图分类号：014文献标识码：A文

2、章编号：1008—598X(2006)04—0070—04数学中的关系有很多，有了关系就使得数学“运动”起来，我们利用关系可以从已知推未知，从有穷推无穷。在众多关系中，二元关系是最基本的，下面从二元关系的角度出发，来探讨一下关系与映射01映射1．1映射定义：设A、B是给定的集合，如果有一个规则f，通过它对每一个aEA，唯一确定一个b∈B，那么就说f是A到B的一个映射。记为f：A—B。1．2映射的图：设f：AB，则由f可以得到一个集合S={a，f(a)IaEA，f(a)∈B}，s是AxB的一个子集，叫做映射f的图。即，由A到B的一个映射，可以确定AxB的

3、一个子集S，如果S满足aEA，b∈B，有(a，b)∈S，那么利用这个S可以确定A到B的一个映射f：—b；而f的图恰好是S。由以上可知，A到B的任一映射，均可用AxB的具有某种性质的子集来描述。2关系2．1关系定义：设A，B是任意两个集合，D={0，1}．AxB到D的一个映射，称为集合A到B(A、B间)的一个关系，简称关系。若(a，b)一1则说a，b处于给定关系中，记为R(，b)或aRb；若(a，b)一0则说a，b不处于给定关系之中⋯1。2．2关系的某些性质设R是集合A上的一个关系2．2．1若对VaEA，均有aRa，则称R具有(反身性)自反性。2．2．2

4、若对Va，bEA，当aRb时，恒有bRa成立，则称R具有对称性。2．2．3若对Va，b，cEA，当aRb，bRc时，恒有aRc，则称R具有传递性。2．2．4若对Va，bEA，当aRb，且bRa时，恒有a=b，则称R具有反对称性[引。2．2．5若对Va，bEA，或aRb，或bRa，或a=b三者必具其一时，则称R是A上的联络[3]。收稿日期：20o6—04—04作者简介：魏裕博(1963一)，女，北京人，陕西教育学院数理工程系副教授。702．3关系的表示：首先，有限集或可数集上的关系可以用矩阵的形式表示[。设A={a1，a2，a3⋯an}，B={b1，b2

5、，b3，⋯bm}。R是A到B的一个关系。fl当(ai，bj)∈R：qjl0当(ai,b；)告R则可得到关系R的表示矩阵ala2⋯anEllc12⋯C1nb1c21c22⋯c2nb2M(R)=i●：’’‘Cmn．c【n1crbm例1A={1，2，3}，B={1，2}则A到B的大于“>”关系的矩阵表示：l23Mc>=[：．。1]21例2A={2，3，4，5，6}上的整除“l”关系的矩阵表示23456l0000100M(R)=l0l0000lll00喜]其次，A到B(A、B间)的一个关系，可用笛卡尔积A×B的子集来刻划。事实上，令={(a7b)lrRb}CA

6、×B，则从给定关系R得到A×B的一个子集。反之，对A×B的任意一个子集灵，只要规定：(a，b)∈则aRb，就得到了一个A到B的关系R，而且由此关系确定的A×B的子集正是灵。正因如此，我们可将与R不加区分。于是，关系定义也可叙述为：A×B的子集R，叫做A，B间的一个关系。特别，若A，B间的关系R具有性质：VaEA，!bEB，aRb，则R决定了A到B的一个映射。2．4等价关系2．4．1定义：若集合A上的关系R具有自反性、对称性传递性，则称R为A上的等价关系。这时，当aRb时，也称a与b等价。2．4．2等价关系与商集和自然映射首先，利用等价关系可以将集合分类

7、。定理1集合A的一个等价关系决定A的一个分类，反之，A的一个分类决定A的一个等价关系[1,2]。这一结论，不仅从理论上论述了集合的分类与等价关系之间的联系，而且在实践上解决了如何用等价关系给集合分类。其次，利用等价关系构造商集。由A的等价关系R所确定的等价类的全体构成一个集合{lVa∈A}，称为A关于R的商集。记为71第三，利用商集得到自然映射。在集合A与A／R间建立对应法则，：a，则是A到A／R的一个映射。称为自然映射[2]。例3A=Z，R2={(a，b)Ia，bEZ；2Ia—b}则R2是Z的一个等价关系。这一等价关系将全体整数分为两个等价类：与0等

8、价的一类石，是偶数集；与1等价的一类T，是奇数集。于是z关于R2的商集Z／Rz={石，T}就是