banach空间中一阶非线性脉冲微分方程终值问题解的存在性new

《banach空间中一阶非线性脉冲微分方程终值问题解的存在性new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第26卷第6期大
学
数
学Vol.26,.62010年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2010Banach空间中一阶非线性脉冲微分方程终值问题解的存在性张海燕(宿州学院数学系,安徽宿州234000)

[摘
要]利用分段估计法和M
nch不动点定理,研究Banach空间中一阶非线性脉冲微分方程终值问题,在较宽松的条件下建立了新的存在性定理,本质上改进和推广了某些已知的结果.[关键词]脉冲方程;终值问题;不动点定理;非紧性测度[中图分类号]O175.15

[文献标识码]A

[文章编号]1672
1454(2010)06
00

2、67
041
引

言近几年来,关于Banach空间脉冲微分方程终值问题的研究工作进展缓慢.文[2-3]利用不动点定理给出了一阶非线性(脉冲)微分方程终值问题解的存在性定理,但他们所用的限制性条件都比较强,使用了先验估计和非紧性测度的限制性条件.本文去掉了这些较强的限制性条件,利用分段估计法和M
nch不动点定理,在较宽松的条件下,获得Banach空间一阶非线性脉冲微分方程终值问题解的存在性定理,本质上改进和推广了文[2-3]的结果.考察Banach空间E中一阶非线性脉冲微分方程终值问题(TVP):u=f(t,u),
t!J,t∀t1,
u

3、t=t

4、=I1(u(t1)),(1)1u(#)=u#,其中J=[0,+#),f!C[J∃E,E],I1!C[E,E],0

5、t=tt%+#1+-+-=u(t1)-u(t1),这里u(t1)和u(t1)分别表示u(t)在t=t1处的右极限和左极限.2
预备知识和引理-设PC[J,E]={u&J%E

6、u(t)在t∀t1处连续,在t=t1处右连续,且左极限u(t1)存在},BPC[J,E]={u!PC[J,E]

7、sup∋u(t)∋<+#},TPC[J,E]={u!BPC[J,E]

8、limu(t)=u(#)},则BPC

9、[J,E]在t!Jt%+#范数∋u∋B=sup∋u(t)∋下构成一个Banach空间,TPC[J,E]BPC[J,E].t!J1记J=J{t1},J0=[0,t1),J1=[t1,+#)如果u!TPC[J,E](C[J,E]满足(1),则称u是TVP(1)的解.Tr={u!E

10、∋u∋)r},Br!{u=BPC[J,E]

11、∋u∋B)r}(r>0),用(∗)表示Kuratowski非紧性测度.+#+#引理1
设m(t),(t)!C[+,+],(t)dt<+#,若m(t))K+Mm(s)(s)ds,t!+,+0+t
[收稿日期]2007
11
27

12、;
[修改日期]2008
02
28
[基金项目]安徽省高校自然科学研究项目(KJ2010B226);宿州学院自然科学基金项目(2009YZK17)68大
学
数
学













第26卷+#+其中K,0,M>0,则m(t))KexpM(s)ds,t!.+tTT证
对充分大的T>t,考虑m(t))K+Mm(s)(s)ds,t![0,T].令v(t)=m(s)(s)ds.则+t+tv(T)=0,v(t)=-m(t)(t).于是有v(t)+M(t)v(t),-K(t),或者TTv(t)exp-M(s)ds,-K(t)exp-M(s)ds.

13、+t+t上式两边同时在t到T上积分得到Tm(t))K+Mv(t))KexpM(s)ds,+t+#让T%+#,就可得到m(t))KexpM(s)ds.+t[2]+,E],若存在!(t)!L[+,+],使得∋u引理2
设B={un}C[n(t)∋)!(t)(n=1,2,−),则(B(t))在+上可积,并且+#+#un(s)ds)2(B(s))ds
(t,0).+t+0[5]引理3(M
nch定理)
设E是Banach空间,∀E是有界开集,#!∀,A:E%E是一个连续算子,且满足下列条件:(i)x∀∃Ax,∃![0,1],x!!∀,(i)由H

14、∀可数及Hco({#}.A(H))可推出H为相对紧集.则A在∀中至少有一个不动点.3
主要定理为方便叙述,先列出下列假设:(H1)对任何r>0,I(u)在Tr上有界;+#(H+2)任给(t,u)!J∃E,存在b(t)!C[J,],且b(s)ds<#,使得∋f(t,u)∋)b(t)∋u∋;+0#(H+3)对任何t!J和DBr,存在L(t)!C[J,],且L(s)ds<#,使得+0(f(t,D))

15、J,E]%BPC[J,E]如下:+#(Au)(t)=u#-f(s,u(s))ds-I1(u(t1)),(2)+t1[1]则