大学物理 赵近芳 第四单元

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1、习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用2dξ2+ωξ=02dt描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡

2、位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为−mgsinθ，如题4-1图(b)所示．∆S题中所述，∆S＜＜R，故θ=→0，所以回复力为−mgθ.式中负号，表示回复力的R方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定

3、律，在凹槽切线方向上有2dθmR=−mgθ2dt2g令ω=，则有R2dθ2+ω=02dt4-2劲度系数为k和k的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连12接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F=F=F，设串联弹簧的等效12倔强系数为K等效位移为x，则有串F=−kx串F=−kx111F=−kx222又有x=x+x12FFF12x==+kkk串12所以串联弹簧的等效倔强系数为kk12k=串k+k12即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k=kk/(k+k)的弹簧振子系统，故1

4、212小球作谐振动．其振动周期为2πmm(k+k)12T==2π=2πωkkk串12(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F=F=F，即x=x=x，设并联弹1212簧的倔强系数为k，则有并kx=kx+kx并1122故k=k+k并12同上理，其振动周期为mT′=2πk+k124-3如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．题4-3图解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平

5、衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有2dxmgsinθ−T=m①12dtTR−TR=Iβ②122dx=RβT=k(x+x)③220dt式中x=mgsinθ/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有02Idx(mR+)=−kxR2Rdt22kR令ω=2mR+I则有2dx2+ωx=02dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为222πmR+Im+I/RT==2π(=2π)2ωkRK−32π4-4质量为10×10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos(8π+)(SI)的规律3作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度

6、的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)t=5s与t=1s两个时刻的位相差；21解：(1)设谐振动的标准方程为x=Acos(ωt+φ)，则知：02π1A=0.1m,ω=8π,∴T==s,φ=2π/30ω4−1−1又v=ωA=0.8πm⋅s=2.51m⋅sm2−2a=ωA=63.2m⋅sm(2)F=a=0.63Nmm12−2E=mv=3.16×10Jm21−2Ep=Ek=E=1.58×10J2当E=E时，有E=2E，kpp12112即kx=⋅(kA)22222∴x=±A=±m220(3)∆φ=ω(t−t)=8π(5−1)=3

7、2π214-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(1)x=−A；0(2)过平衡位置向正向运动；A(3)过x=处向负向运动；2A(4)过x=−处向正向运动．2试求出相应的初位相，并写出振动方程．⎧x0=Acosφ0解：因为⎨v=−ωAsinφ⎩00将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有2πφ=πx=Acos(t+π)1T32π3φ=πx=Acos(t+π)22T2π2ππφ=x=Acos(t+)33T3