实验二 应用fft对信号进行频谱分析new

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1、中国科学技术大学电子工程与信息科学系多媒体通信实验室（Copyright2000）实验二应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。2、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。3、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。二、实验原理与方法一个连续信号x(t)的频谱可以用它的傅立叶变换表示为a+∞−jΩtX(jΩ)=x(t)edt（2-1）a∫a−∞如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列x(n)=x(n

2、T)（2-2）a同样可以对该序列进行z变换，其中T为采样周期+∞−nX(z)=∑x(n)z（2-3）−∞jω当z=e的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换+∞jωjωnX(e)=∑x(n)e（2-4）−∞其中ω称为数字频率，它和模拟域频率的关系为ω=ΩT=Ω/f（2-5）s式中的f是采样频率。上式说明数字频率是模拟频率对采样率f的归一化。同模拟域的情ss况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。序列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。+∞jω1ω−2πmX(e)=∑Xa(j)（2-6）T−∞T

3、即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从式（2-6）可以看出，只要分析采样序列的频如果您在阅读过程中发现疏漏和错误，请您尽快和编者取得联系network@ustc.edu.cncxh@ustc.edu.cn1中国科学技术大学电子工程与信息科学系多媒体通信实验室（Copyright2000）谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足Nyquist定理。在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换（DF

4、T），这一变换可以很好地反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们定义离散傅立叶变换为：N−1knX(k)=DFT[x(n)]=∑x(n)WN（2-7）n=02π−j其中W=eN，它的反变换定义为：NN−11−knx(n)=IDFT[X(k)]=∑X(k)WN（2-8）Nk=0−k根据式（2-3）和（2-7）令z=W，则有NN−1nkX(z)

5、z=W−k=∑x(n)WN=DFT[x(n)]（2-9）Nn=02π−kjk−k2π可以得到X(k)=X(z)

6、z=W=eN,W是z平面单位圆上幅角为ω=k的点，

7、NNN就是将单位圆进行N等分以后第k个点。所以，X(k)是z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。DFT是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：（1）混淆现象从式（2-6）中可以看出，序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2π/T，因此当采样速率不满足Nyquist定理，即采样频率f=1/T小于两倍的信号（这

8、里指的是实信号）s频率时，经过采样就会发生频谱混淆。这导致采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混淆现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这就告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。（2）泄漏现象实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析

9、。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄漏是不能和混淆完全分离开的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。（3）栅栏效应如果您在阅读过程中发现疏漏和错误，请您尽快和编者取得联系network@ustc.edu.cncxh@ustc.edu.cn2中国科学技术大学电子工程与信息科学系多媒体通信实验室（Copyright2000）因为DFT是对单位圆上z变换的均匀采样，所以

10、它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅