数值分析简明教程0-1 (14)

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1、第三章常微分方程的差分法第三章常微分方程数值解§3.1欧拉方法§3.2龙格-库塔方法§3.3亚当姆斯方法§3.4收敛性与稳定性§3.5方程组和高阶方程2本章要点：本章主要研究常微分方程的定解问题。这类问题最简单的形式是：'y=f(x,y)y(x0)=y0这也是本章研究的重点。主要求解方法有：线性单步法：Euler方法、Simpson方法、Runge-Kutta方法线性多步法：Adams方法3差分方法差分方法是一类重要的数值解法。。这类方法。这类方法是寻求一系列离散节点x1

2、。即即：即：y⇒y⇒L⇒y⇒L12n4§3.1欧拉方法在工程和科学技术的实际问题中，，常需要求解微分方程，常需要求解微分方程.只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：y′=f(x,y)a≤x≤b-----------(1)y(a)=y0y′′=f(x,y,y′)a≤x≤b-----------(2)y(a)=y,y′(a)=α05y′′=f(x,y,y′)a≤x≤b-----------(3)y(a)=y,y(b)=y0n(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为

3、边值问题另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:y1′=f1(x,y1,y2)y1(x0)=y10-----------(4)y′=f(x,y,y)y(x)=y22122020本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件6定理1.如果f(x,y)满足Lipschitz条件，即∃正数L,使得∀x∈[a,b]，均有

4、f(x,y)−f(x,y)

5、≤L

6、y−y

7、1212则初值问题)1(的解存在且唯一对于问题(1),要求它的数值解就是求未知函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点(节点)a=x

8、

9、若在节点列出方程(1)：y(xn)=f(xn,y(xn))并用差商y(xn+1)−y(xn)代替其中的导数项y'(x)，nh结果为：y(xn+1)=y(xn)+hf(xn,y(xn))9•用y(xn)的近似值yn代入上式右端，，并记结果，并记结果为yn+1，，导出一个计算公式为，导出一个计算公式为：y=y+hf(x,y,)n=2,1,0Ln+1nnn•这就是欧拉（Euler））格式）格式。定义1：：设：设yn为准确的，，即在，即在yn=y(xn)的前提下估计误差y(xn+1)−yn+1。。这种误差称为。这种误差称为局部截断误差。定义2：：如果一种数值方法的局

10、部截断误差为：如果一种数值方法的局部截断误差为(p+1)poh，，则称该方法具有，则称该方法具有阶精度。10•对于欧拉格式，，假设，假设yn=y(xn)，，则有，则有：'yn+1=y(xn)+hf(xn,y(xn))=y(xn)+hy(xn)•按泰勒展开有：'h2''y(xn+1)=y(xn)+hy(xn)+2y(ξ)xn<ξ

11、再进行离散化，，可导出公式，可导出公式：y=y+hf(x,y)n+1nn+1n+1称为隐式欧拉格式。。它也是一阶方法。它也是一阶方法。12三、两步欧拉格式为了改善精度，，用中心差商，用中心差商12h[y(xn+1)−y(xn−1)]代替方程'中的导数项'。y(xn)=f(xn,y(xn))y(xn)再进行离散化，，可导出公式，可导出公式：y=y+2hf(x,y)n+1n−1nn称为欧拉两步格式。显然，，欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法，欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法。易证，，欧拉两步格式是二阶方法，欧拉两步格式是二阶方法。13四、梯形格式'•将将方程将方程

12、y=f(x,y)的两端从xn到xn+1求积分得：xn