数值分析简明教程0-1 (13)new

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1、第二章数值积分§2.5数值微分先看一个实例:已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万)年份1900191019201930194019501960197019801990人口76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4试计算美国20世纪的(相对)年增长率若记t时刻的人口为x(t),则人口的增长率为dxdtr(t)=dxdt如何求x(t)2一、差商公式f(a+h)−f(a)'•我们知道,导数f(a)是差商h•当n→∞时的极限。如果精度要求不高,可以•

2、用差商值近似代替导数值,这样就建立了一种•简单的数值微分公式。'f(a+h)−f(a)•向前差商:f(a)≈h'f(a)−f(a−h)•向后差商:f(a)≈h•中心差商:'f(a+h)−f(a−h)f(a)≈2hf(a+h)−f(a−h)•记:G(h)=称为中点公式。2h3二、中点方法的加速•将f(a+h,)f(a−h)在a点泰勒展开得:23'h''h'''f(a±h)=f(a)±hf(a)+f(a)±f(a)!2!345h)4(h)5(+f(a)±f(a)+LL4!5!•代入到G(h)中可得:24'h

3、'''h)5(G(h)=f(a)+f(a)+f(a)+LL!3!5'246•一般形式为:G(h)=f(a)+α1h+α2h+α3h+LL•系数α1,α2,L与步长h无关。(1)4•若将步长减半,则有:G(h)=f'(a)+α1h2+h4+h6+LLα2α324(2)•将(1)(2)两式加权平均:4h1G1(h)=G()−G(h)323•消去余项中主要部分2项,可得:h'46G1(h)=f(a)+β1h+β2h+LL16h1•若令:G2(h)=15G1(2)−15G1(h)4•进一步消去h项,可得:'6G

4、2(h)=f(a)+γ1h+LL64h1'8•重复可得:G3(h)=63G2(2)−63G2(h)=f(a)+o(h)5三、插值型求导公式设知道f(x)在节点处的函数值a≤x

5、求导,有(n+)1(n+)1[f(ξ])′f(ξ)f′(x)=L′(x)+ω(x)+ω′(x)nn+1n+1(n+1)!(n+1)!(n+)1由于ξ与x有关[,f(ξ])′将很难确定但是当x=x时,f′(x)可以求出kk(n+)1(n+)1[f(ξ])′f(ξ)f′(x)=L′(x)+ω(x)+ω′(x)knkn+1kn+1k(n+1)!(n+1)!(n+)1f(ξ)=L′(x)+ω′(x)nkn+1k(n+1)!k=0,1,L,n(n+)1nf(ξ)=Ln′(xk)+∏(xk−xj)--------(

6、4)(n+1)!j=07j≠kf′(x)=L′(x)+E(x)--------(5)knknkk=0,1,L,n(n+)1nf(ξ)--------(6)En(xk)=∏(xk−xj)(n+1)!j=0j≠k(5)式称为插值型求导公式,(6)式为相应产生的误差由于公式(4)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插值型求导公式8四、低阶插值型求导公式1.两点公式n=1时f′(xk)=L1′(xk)+E1(xk)k=0,1x−xx−x10L1(x)=

7、f0+f1x−xx−x011011L′(x)=f+f101x−xx−x0110)2(f(ξ)E1(xk)=(xk−xj)k=0,1,j≠k2若令h=x−x,则109f′(x)=L′(x)+E(x)010101h)2(=(f1−f0)−f(ξ)--------(7)h2f′(x)=L′(x)+E(x)111111h)2(=(f1−f0)+f(ξ)--------(8)h2(7)(8)式称为带余项的两点求导公式由于E=o(h)1精度1阶f′(x)≈f′(x)≈(f−f)即0110h102.三点公式n=2时f

8、′(xk)=L2′(xk)+E2(xk)k=0,1,2(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)120201L(x)=f+f+f2012(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)010210122021(x−x)+(x−x)(x−x)+(x−x)(x−x)+(x−x)120201L′(x)=f+f+f2012(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)(x−x)010210122021)3(2f(ξ

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