概率论 数理统计卢第06讲

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1、§2.3连续型随机变量一.连续型随机变量的概念与性质在线段上随机投点的位置,温度、气压、电压、电流等物理量等等,理论上可以取到某个区间的任何实数值对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式，从而得到连续型随机变量的概念定义3.1设X是随机变量,如果存在非负函数fx使得对任何满足ab的ab,b有PaXbfxdxa则称X是连续型随机变量,称fx是X的概率密度函数,简称为概率密度或密度概率密度的意义若x是f(x)的连续点，则xxf(t)dtPx(Xxx)xlim

2、limx0xx0x=f(x)故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间(x,xx]上的概率与区间长度x之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度f(x)xo要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度若不计高阶无穷小，有P{xXxx}f(x)x它表示随机变量X取值于(x,xx]的概率近似等于f(x)xfx()x在连续型随机变量理论中所起的作用与PX(x)pkk在离散型随机变量理论中所起的作用相

3、类似概率密度性质由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质0这两条性质是判定一个1fx()0函数f(x)是否为某X的0概率密度函数的充要条件2fxdx()1f(x)10x03PXa0这是因为PX(a)limPa(Xax)x0axlimfxdx()x0a0注:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义,我们所关心的是它在某一区间上取值的问题04PaXbPaXbPaXbPaXb;05对数集A(严格意义下要求可测性),PXAfxdxA例1设X是连续型随机变量，其密

4、度函数为2c4x2x0x2fx0其它求：⑴常数c;2PX1解:⑴．由密度函数的性质fxdx1例1（续）得1fxdx02fxdxfxdxfxdx022222238cc4x2xdxc2xx33003所以c8例1（续）2PX1fxdx12fxdxfxdx122324x2xdx812322312xx8321例2某电子元件的寿命X（单位：小时）是以0x100fx100x1002x为密度

5、函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率解:设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}例2（续）150PAPX150fxdx1501001dx23x100检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重贝努里试验B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}2321280PBC524333二.几种常用的连续型随机变量1.均匀分布(Uniform分布)Uab,对ab,如果X的密度是1,xab,fxba0,xab,则称X服从区间ab,上的均匀

6、分布,记作X~Uab,均匀分布密度函数演示f(x)oabx均匀分布的应用X取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则X具有(a,b)上的均匀分布在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量X，落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的cl即Pc{Xcl}fxdx()ccl1dxcbaXXla0bxllba说明1.类似地，我们可以定义区间a，b,a，b,a，b上的均匀分布2.采用ab,的示性函数1,xab,Iab,0,xab,还可以将密度fx写成1fx

7、Iab,ba例3设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布10x30fx300其它例3（续）令：B={候车时间不超过5分钟}PBP10X15P25X30151301dxdx10302