the semiclassical theory electron dynamics

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1、6.4在恒定磁场中电子的运动：一.恒定磁场中的准经典运动二.自由电子的量子理论三.晶体中电子的有效质量近似四.回旋共振五.霍尔效应六.DeHaas－VanAlphen效应见黄昆书5.4；5.5；5.6节讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrödinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰，但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据。一.恒定磁场中的准经典运动依然沿用准经典运动的两个基本方程：1v()kk=ÑE()ijkk

2、h{-evxvvyzdkF=-´ev()kB=hBxBByzdt只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有Lorentz力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时，晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。dk^B表明沿磁场方向k的分量不随时间而变，dt即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动；又由于Lorentz力不做功，Fv^，所以电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。综合以上两点，可以B看出：电子在k空间中的运动轨迹是垂直于磁场的

3、平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。一般情形等能线形状是很复杂的。e也可从公式ddk=t-ëûév()kB´ù出发直接说明此点：h上式表明：磁场作用下，电子在k空间运动，其位移dk垂直于v和B所决定的平面，dk垂直于B，这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的平面内，dk还垂直于v，因为v垂直于k空间的等能面，这意味着dk处在这个等能面内，综合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动，且对磁场而言是反时针旋转。电子沿等能线运动，既不从磁场吸收能量，也不把能量传递给磁场，这与电磁学中电荷和磁场相互作用的规律是一致的。如图所示

4、电子在k空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的那一点。按照上式：电子回旋运动周期：vvddkkhTt=Ñòd==ÑÑòòw&keBvE=constEE==constconst^v取垂直于磁场的分量。回旋运动圆频率（Cyclotronfrequency)：2pw==2peBvcTdkhÑòvE=const^这里，微分dk是沿回路周边取的，一般情况形状复杂，rrhk对于自由电子：22vk()=hkmE()k=r2mdkerur=-´(kB)dkeBx=-kdtmydtmdkeBy=k有：xdtmhkdk^z=0v()k=或：^dtm电子的运动

5、轨道为圆，如下图在等能线上，k＝const.^22ppeBeBw==2peBv==cTmkmdhh×2pkÑò^vhkE=const^^磁场作用下自由电子在k空间中的运动轨道是圆。其回旋频率：eBw=cm从前面讨论中可以看出：Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化（见6.8节），其运动轨迹要复杂的多，因而其回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：eBw=m*是Bloch电子的有效质量.cm*由上面自由电子的公式可以给出：磁场沿z轴方向，有dveBx=-vydtmdv

6、eBy=vxdtmdvz=0dt在实空间中，沿磁场方向，vz是常数，即做匀速运动，电子的运动轨迹为一螺旋线。vv=coswtv2=+vv22x00解为0xyvv=sinwt{y00eBw=v.=const0zm实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。eB回转频率：w=0md1véù=×F对于晶体中的电子{dtmêúëû*F=-´evB在主轴坐标系中有dvv1dv1d1xzy===F,,FF*x**yzdtmddtmtmxyz若磁场方向取在z轴方向，B＝B，即可写出其相k应的准经典运动方

7、程。dveBx=-v*ydtmxdveBy=v*xdtmydvz=0dt这与普通物理中的结果是一致的。二、自由电子的量子理论2p在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：H=2m当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为12He=+(pA)2mA为磁场的矢势，BA=Ñ´若磁场B沿z方向，则可取A=-(By,0,0)ˆ1ˆˆ222ˆH=éù(p-eBy)++ppëûxyz2m由于哈密顿算符中不含x和z，¶¶Hˆ与piˆ=-h及piˆ=-h对易。xz¶x¶z根据量子力学，H和p、p有共同本征态。xz设ψ为其共同本征态，有pkˆyy=hxxpkˆyy=hzzi(k

8、xzx+kz)波函数可以写成yj()r=ey()代入波动方程HEˆyy=12222éùëû(hhkx-eBy)+pˆyz+