第6章 狭义相对论

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1、郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第六章狭义相对论第六章狭义相对论1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。证：设Σ、Σ′系相应坐标轴彼此平行，Σ′相对于Σ沿x轴正方向以恒定速度v运动，tt==′0时两坐标系原点重合，则伽利略变换为：x=xv′′+==tyyzztt,,,′′′=′.（1）牛顿定律dx2KK在Σ系中，mF=.2dtKK在伽利略变换下，mmFF==′′,.dx22KK′dxKK而mmF′′===F.22dt′dt可见，Σ′、Σ系中牛顿定律具有相同的数学形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变的。（2

2、）麦克斯韦方程KK∂B以∇×=−E为例，考虑其x分量:∂t∂∂E∂EBzyx在Σ系中，−=−∂∂∂yztKKKKKKK1K在伽利略变换下，E=−×EvBBB′′,=+×′vE′.因而有2cE=+Ev′′BEEv,,=−′′BBB=′.yyzzzyxx∂E∂∂−∂+E()Ev′′B(Ev′B′)zyzyyz⇒−=−∂∂yz∂y′′∂z∂∂E′′∂∂EB′⎛⎞′Bzyyz=−−v⎜⎟+，∂∂yz′′⎝⎠∂∂yz′′∂∂BB′xx=.∂∂tt′82郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第六章狭义相对论∂∂Ez′′∂∂EB′yy⎛⎞′BBzx∂′所以−−v

3、⎜⎟+=−.∂∂yz′′⎝⎠∂∂yz′′∂t′可见，Σ′、Σ系中麦克斯韦方程具有不同的数学形式，即麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l，它们以相同速率v相0对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：如图，在第一根尺上（K系）测得第二根尺的速度为1uVv−−()−v2vu′===，22uVvv()−v11−−1+222ccc因此，在第一根尺上（K系）测得第二根尺的长度为122uv′1/−c′=−=2ll1l.202202cv1/+c由于动尺收

4、缩效应是相对的，在第二根尺上（K系）测得第一根尺的长度也为2221/−vcl.0221/+vc3.静止长度为l的车厢，以匀速v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u向前推出00一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。83郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第六章狭义相对论解：地面参照系记作S系，车厢参照系记作S′系。小球“从后壁推出”及“到达前壁”两事件的空时坐标为从后壁推出到达前壁S′系(0,0)(,)(,/)x′tll′=000uS系(0,0)(,)xt小球相对于地面的速度为uv+0u=21/+uvc0方法一：应用洛伦兹变换，直接

5、求Δt.222tv′′+++xcluv///1/lcluvc00000Δ==tt==.1/−−vc221/vc22u1/−vc220方法二：应用洛伦兹变换，先求Δx，再由Δx/u求Δt.x′′++vtlvlu/lu+v00000Δxx====，1/−−vc221/vc22u1/−vc2202Δ+xlu1/vc00Δ=t=uu1/−vc220方法三：应用间隔不变性，求Δt.22222222Sc=Δ−Δ=Δ−Δ=−Δ()()()()(txctutcut)()，2222222lc0022−uSc′′′=Δ−Δ=()()txcll−=.2200uu00

6、22因为SS=′，222222cu−0所以()cutl−Δ=()，02u02222222lcul00−−0cu0⇒()Δ=t=22222ucuu−⎛⎞uv+002c−⎜⎟02⎝⎠1/+uvc022222lcuu()−+(1/vc)000=22222uc(1+−uvc/)(uv+)00084郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第六章狭义相对论22222222lcu(−+)(1uvc/)l(1+uvc/)00000==，22222222ucuvcu(−−)(1/)(1−vc/)0002lu1/+vc00⇒Δ=t.u1/−vc220方法四：应用时钟变慢

7、公式，先求原时Δτ，再求Δt.Δ==ttlu′′/，0022l022Δ=Δ−τtu′1/c=1/−uc，00u01/22Δ+τlu0022⎡1⎛⎞v⎤Δ=tu=1/1−c÷−⎢⎜⎟⎥0221/−uc22uc⎢⎝⎠1/+uvc⎥00⎣⎦1/22222lu0022⎡⎤(1−−/c)(1v/c)=−÷1/uc⎢⎥022uu⎣⎦(1+v/c)002lu1/+vc00=.u1/−vc220方法五：根据两系中的位移关系求Δt.22在S系看来,车厢长为lv1/−c，0小球由后壁至前壁这段时间，后壁前进了vtΔ，小球前进了utΔ.这些长度的关系为22utvtl

8、Δ=Δ+1/−vc022222lv1/−−+clv1/clu1/vc0000⇒Δ=t==.uv−uv+u220−v01/−vc21/+uvc04.一辆