第3章狭义相对论

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1、第3章狭义相对论3.1地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？解：地球的半径约为R=6400千米=6.4×106(m)，自转一圈的时间是T=24×60×60(s)=8.64×104(s)，赤道上钟的线速度为v=2πR/T=4.652×102(m·s-1)．将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．南极和赤道上的钟分别用A和B

2、表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为，可求得B钟的本征时为，因此时间差为=1.898×105(s)．在南极上看，赤道上的钟变慢了．方法二：以S`系为准．在S`

3、系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为，可求得A钟的本征时为，因此时间差为=1.898×105(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了．[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．有人直接应用公式计算时间差，由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题

4、中的本征时是未知的．也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．3.2一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx=lcosθ和ly=lsinθ．在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y=ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得，因此，可得夹角为．3.3在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？解：在S系中

5、的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt=4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt`=5s是运动时，根据时间膨胀公式，即，可以求两系统的相对速度为v=3c/5．在S`系中A和B两事件的空间距离为Δl=vΔt`=3c=9×108(m)．3.4一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为．若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？解：不论

6、两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为3.5S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式，----------（1）由题意得：Δt=0，Δx=1m，Δx`=2m．因此，-----------（2）由（2）之上式得它们的相对速度为-----------（3）将（2）之下式除以（2）之上式得，所以=-0.577×10-

7、8(s)．[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx`=2m可以大于间隔Δx=1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度．3.6一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？解：以地球为S系，则Δt=10s，Δx=100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式和，飞船上观察运动员的运动距离为≈-4×109(m)．运动员运动的时间为≈16.67(s)．在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后

8、退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约