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1、2.数理逻辑MathematicalLogic2.1命题逻辑propositionallogical2.1.1命题和命题联结词2.1.1.1命题statement：可以判断真假的陈述.(1)地球是圆的。p(2)2+3=5.q(3)你说英语吗？(4)3-X=5.(5)吃两片阿斯匹林！(6)土星表面温度是华氏800度。r(7)明天会出太阳。s可以用符号表示命题:p,q,r,s,t分别表示命题（1）（2）（6）（7）。2.1.1.2复合命题compoundstatement:用逻辑连接词可以将若干命题联接成复合命题。(
2、1)地球是圆的并且2+3=5.p∧q(2)土星表面温度不是华氏800度。~r(3)因为地球是圆的，所以明天会出太阳。p→s(4)明天不会出太阳，除非2+3=5。即，明天不会出太阳或2+3=5。~s∨q（5）明天出太阳，只要2+3=5。q→s(6)明天出太阳，仅当2+3=5。s→q2.1.1.3条件命题conditionalstatementsp→qimplicationp前提antecedent,hypothesis.q结论consequent,conclusion.逆命题converseoftheimplica
3、tionq→p逆否命题contrapositiveoftheimplication~q→~pp→qÛ~q→~p2.1.1.4命题变元propositionalvariable可以代表任意以一个命题的变元符号p,q,r,s，…p1,p2,p3，…2.1.1.5逻辑连接词logicalconnectives否定negation~~p合取conjunction∧p∧q析取disjunction∨p∨q蕴含implication→p→q等价equivalence,biconditional«p«q联结词的真值表truth
4、tablepq~pp∧qp∨qp→qp«q00100110110110100010011011112.1.2命题公式propositionalformulas2.1.2.1命题公式的递归定义（1）单个命题变元是命题公式。（2）如果A,B是命题公式，则(~A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A«B)都是命题公式。例A=((p∧(~q))→(((~p)∨q)∧q))是命题公式.可以省略最外层的括号:A=(p∧(~q))→(((~p)∨q)∧q).规定命题连接词的优先级：~，∧，∨，→，«，左边高于右边。命题A
5、可以化简为：A=p∧~q→(~p∨q)∧q.A可以记作A(p,q)，p,q是A中变元.2.1.2.2命题变元p1,p2,…,pn的赋值σ(p1,p2,…,pn)σ(p1,p2,……,pn)=(0,1,1,0,…,1)也记作p1σ=0,p2σ=1,p3σ=1,p3σ=0,……,pnσ=1,一个赋值对应于命题变元的一种真假取值。n个变元共有2n种不同的赋值。例.令赋值σ(p1,p2,p3)=(0,1,0),计算命题公式A=p∧~q→(~p∨q)∧q,B=p→(q→r)的赋值Aσ=((p∧~q→(~p∨q)∧q))σ=
6、0∧~1→(~0∨1)∧0)=1Bσ=pσ→(qσ→rσ)=0→(1→0)=12.1.2.3命题公式的真值表truthtableofpropositionsA的真值表pQ~p~qp∧~q~p∨q(~p∨q)∧qp∧~q→(~p∨q)∧q001101010110011110011000110001012.1.2.4命题公式的分类2.1.2.4.1恒真式重言式tautology无论命题变元取什么值，命题公式取值都是1(真)的公式。对任意赋值σ，Aσ=1,A就是恒真式。2.1.2.4.2恒假式矛盾式contradict
7、ion,absurdity无论命题变元取什么值，命题公式取值都是0(假)的公式。对任意赋值σ，Aσ=0,A就是恒假式。2.1.2.4.3可满足的命题公式contingency不恒假的命题公式。存在赋值σ，Aσ=1,A就是可满足的。2.1.2.5（逻辑）等价公式AÛBA«B是恒真式。命题公式A,B具有相同的真值表。无论公式A,B中的命题变元如何取值,A,B都有相同的真假值。对任意赋值σ，Aσ=Bσ,A,B就是等价公式。用真值表可以判定一个公式是否恒真式，恒假式，可满足公式，可以判断两个公式是否等价。例。证明下列公式
8、都是恒真式：(1)p→p(2)~~p→p(3)p→(q→p)(4)(p→((q→r))→((p→q)→(p→r))(5)(~q→~p)→p→qProofof(3).证法1：真值表法pqQ→pp→(q→p)0011010110111111证法2：反证法设对某个赋值σ，(p→(q→p))σ=0，则pσ=1且(q→p)σ=0，因此qσ=1且pσ=0。但pσ不可能同时取值1和0，
