应用常微分方程建立数学模型分析综合国力

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1、万方数据28／2886．88长春工程学院学报(自然科学版)2007年第8卷第1期J．ChangchunInst．Tech．(Nat．Sci．Edi．)，2007，V01．8，No．11；墅!Q堕：!竺坠CN22．1323／N应用常微分方程建立数学模型分析综合国力张曼清(鸡西大学，鸡西158100)摘要：利用常微分方程建立综合国力的数学模型，并通过对此数学模型的分析，说明了如何将常微分方程的知识应用到综合国力的分析中，同时给出了此综合国力数学模型的数学分析过程。关键词：硬国力函数；警戒线；软国力函数；极限环中图分类号：029文献标识码：A文章编号：1009．8984(2007)01．0086

2、．03一个国家的物质文明与精神文明综合而成的社会文明称之为综合国力。基于社会发展，建立综合国力非线性数学模型，应用二次微分系统来探讨综合国力的规律。从数学上讨论相应的二次微分系统的中心与焦点的判定，极限环的存在性、惟一性等问题。1综合国力模型设X(t)为硬国力函数，x(t)为国家物质文明(资源、经济、军事、科技等)水平的一个综合指标。X(t)越大，物质文明越繁荣，x(t)=茗。表示X(t)的警戒线，其中，戈。为一个常数。设Y(t)为软国力函数，y(t)为国家精神文明问题(内政、外交政策的失误与正确、官员的腐败与廉洁、国民教育的失败与成功，社会治安情况的严重与良好等)的一个综合指标。Y(￡)

3、>0时，对应社会丑恶现象(决策失误、教育失败、官贪民盗等)，这时软国力对社会发展有阻滞作用；Y(t)<0时，软国力优越(决策英明、国民素质高等)，对社会发展有促进作用。记X(t)=X(t)一石o，贝0一XOsX(￡)sM=Const建立下面的数学模型：rdx(M—x)I面2觚—矿(1){，【笔=一7y+艿(m一髫)x(2)收稿日期：2007—01—09作者简介：张曼清(1953．1l一)，女(汉)，辽宁辽阳．副教授主要研究高等数学。兵中：d、卢、)，、d、m、M臂为正的常数，m

4、M的量纲是[S]．(1)、(2)的建模思想如下：物质文明的发展速度警与现有文明水准茗(‘)及发展潜力的分额Q与孑巫成正比。于是有掣这一项，称a为增长系数。一砂表示社会丑恶现象对物质文明发展的阻滞，p称为丑恶系数。一M表示人民与政府对丑恶现象的抵制与治理力度。它与现存丑恶现象的多寡成正比，7称为统治系数。艿(m一戈)，其中菇表示物质文明。当茗(t)m时，社会丑恶现象随石(t)之增加而减少。令M(t)=型M，秒(f)=趔M，p=r，则：(1)，(2)变成f筹=争(1一∥)一口(3)}警=一扣譬(者刊卢(4)又令。=秘=芳一警俨嚣，仍把r写成t

5、，得『警=。“(1一u)一秒(5)【鲁=一咖“户一m(6)(1)、(2)与(5)、(6)拓扑同胚。2模型的数学分析我们来讨论轨迹的性质。以下总假设姬学万方数据张曼清：应用常微分方程建立数学模型分析综合国力87n6)。一ab，

6、2a詹。而’l2而，于是D=e舡+如[o—b一(玩+c1)u2]，而出+。z：丝掣>0，所以当口<=b时D<=0，等号仅在a=b且u=O时发生。由Dulae准则。方程组(5)、(6)无闭轨。定理1证毕。定理2方程组(5)、(6)有2个奇点(0，0)，(uo，p。)=(氅{詈，。耻。(1一Ⅱ。))；(“。，％)在第一象限是鞍点；(0，0)当o与掣，于是有ab—C<0，ab—C<0。又卢0，层p(珏o，

7、"o)在第一象限内。令￡=“一tlo，叩=tJ—uo则(5)、(6)变成f面de=n(1—2Uo)e一7一畦2(7)I磐=c(户一2Uo)e—br]一馐2(8)(7)、(8)的线性近似系统的特征方程为A2+[b一口(1—2uo)]A+c(弘一2uo)一ab(1—2uo)=0(9)其中常数项c(p一2uo)一ab(1—2)=ab—c卜<0，故特征根是异号实数，(砧。，VO)是鞍点。对于(0，0)点特征方程为A2+(a—b)