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1、第16卷第4期数学研究与评论Vol.16No.41996年11月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONNov.1996l0范畴RMn上的一个函子及范畴AGrnX刘 于 人(苏州大学数学系,215006)l0摘 要 本文定义了一个由范畴RMn到范畴AGrn的函子G,并证明了函子G保持分a000量正合及全正合.关于范畴AGrn证明了定理:任意A∈obAGr,p+1,ûAû≠1,则A=ÝAK,AKµK∈I0Zp,其中p为素数.关键词 l0范畴RMn,函子G,范畴AGrn.分类号 AMS(1991)18B99öCCLO154ll′l文[1]定义了
2、一个由范畴RMn到范畴RMn的函子F.本文在RMn上定义另一函子G.0••AGrn表示A=A的交换n2群范畴,这里A={aûa∈A,a=al}.l0•l••令G:obRMn→obAGrn:M→M;任意M,N∈obRMn,G:Hom(M,N)→Hom(M,N):f→••f,其中f=fûM•.≈l••任意M∈obRMn,M={mûm∈M,m=om},忘却其模运算,则M为交换n2群,且M=••0••M,故M∈obAGrn.取任意的f∈Hom(M,N)及任意的m∈M,f(m)=fûM•(m)=f(m)=•••••f(om)=of(m)∈N,易知f是n2群同态,故f∈Hom(M,N).又G(1
3、M)=1MûM•=1M•,G(gf)l0=G(g)G(f).综上,G是RMn到AGrn的函子.l引理1任意M,N∈obRMn,任意f∈Hom(M,N),f•••M—→N则fiM•=iN•f,即右图可交换,其中iM•:M→M,iN•:N→N为嵌入映iM•↑↑iN••射.•f•M—→Nfgl•定理1在RMn中,若态列M1→M2→M3在M2处关于m3分量正合(m3∈M3),则态列•f•g••••M1→M2→M3在M2处亦关于m3分量正合.l证明 由引理1知,在RMn中下图可交换:fgM1—→M2—→M3↑iM•↑iM•↑iM•123•f•g•••M1—→M2—→M3X1994年5月23日收
4、到.—589—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.•其中iM•:Mj→Mj为嵌入映射,j=1,2,3.j••••-1任取y∈Imf,存在x∈M1,y=f(x)=iM•f(x)=fiM•(x),故y∈Imf=g(m3),又2i••••-1m3=gfiM•(x)=giM•f(x)=iM••gf(x)=•gf(x),故y=f(x)∈•g(m3).i23-1(m••(y)=i••-1对任意的y∈•g3)AM2,m3=gM•g(y)=giM(y)=g(y),y∈g(m3)=32•Imf,故存在x∈M1,y
5、=f(x).注意到ox∈M1,y=oy=of(x)=f(ox)=fiM•(ox)=1•••iM•f(ox)=f(ox),即y∈Imf.2•f•g•-1••••综上,Imf=•g(m3),即态列M1→M2→M3在M2处关于m3分量正合.•fgf•gl•••定理2在RMn中,若态列M1→M2→M3为全正合列,则态列M1→M2→M3亦为全正合列.•≈≈f•g证明 注意到M••-1(M••M•M••3=M3,g3)=M2,故态列M1→2→3在M2处全正合当且仅当•态f是满的.••-1•对任意的m2∈M2,g(m2)∈M3,m2∈g(M3)=Imf,故存在m1∈M1,m2=f(m1),又•••
6、•om1∈M1,m2=om2=of(m1)=f(om1)=fiM•(om1)=iM•f(om1)=f(om1),即态f是满12•f•g••••的,从而态列M1→M2→M3在M2处全正合.i•nMMl•••对任意的M∈obRMn,态列M→M→MöM为全正合列,其中iM•:M→M为嵌入映射,nM:Wi•nU••MM••M→MöM:m→[m]为自然同态;态列{m0}→M→M→MöM→{m0}在M处关于W(m0),在••M处关于iM•W(m0)=W(m0),在MöM处关于nmiM•W(m0)=[W(m0)]分量正合,MöM=F(M)l′•0l′0∈obRMn,M=G(M)∈obAGrnõRM
7、n与左R2模范畴RM等价.下文试图讨论范畴AGrn.0设A∈obAGrn,K是A的n2子群.在A上建立等价关系R:任意a1,a2∈A,a1Ra2当且仅当a1=a2+k1+⋯+kn-1,ki∈K.记AöK为R确定的等价类的集合,任意a∈A,a所在的等价类记作[a].在AöK={[a]ûa∈A}上定义n元运算:[a1]+[a2]+⋯+[an]=[a1+00a2+⋯+an],则AöK∈obAGrn,称为A的n2商群.0引理2设A∈obAGrn,A为有限n2群,K
