上海大学2008 ～2009 学年 春 季学期试卷答案

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1、第页(共页)10011成⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥上海大学2008～2009学年春季学期试卷绩10：⎜110⎟的Jordan标准形是⎢1⎥⎜⎟⎝⎠101⎢⎣1⎥⎦课程名：高等代数C(三)（A）课程号：学分：二、是非题（每题2份共10分）应试人声明：−11.设σ是有限维线性空间V上线性变换，则有σσ()VV+(0)=。（错）我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。2.设σ是n维线性空间V上线性变换，则σ在某组基

2、下矩阵为对角矩阵的充分必要条件是其有n个不同特征值。（错）应试人应试人学号应试人所在院系3.n阶复矩阵A的初等因子的乘积等于A的特征多项式。（正确）4.有限维欧氏空间V的任意两组基的度量矩阵是合同的。（正确）题号一二三四五六七八九5.实对称矩阵正定的充分必要条件是其特征值皆大于0。（正确）得分一、填空题（每题2份，共十题）草稿纸−11:n维线性空间V上线性变换σ可逆的充分必要条件是σ(0){0}=。2：维欧氏空间nV上线性变换σ为正交变换的充分必要条件是

3、()

4、

5、

6、,σααα=∀∈V。⎡⎤212⎢⎥3：如

7、果(2λ−),(λ−2)为矩阵A的初等因子，则A的Jordan标准形是2。⎢⎥⎢⎥⎣⎦24：维线性空间nV上线性变换σ的值域维数与其核维数之和等于n。5：如果向量组x=（1，1，1，1），y=（1，-1，-1，a），z=（b，1，-1，-3）两两正交，则

8、x++=yz

9、27。23236：如果(1λλλ−−−),(1),2()为矩阵A的初等因子，则A的最小多项式是(1λλ−)(2−)。7：如果A的特征值是1，2，λ，而且trA()5=，则λ=2。8：酉变换的不同特征值对应的特征向量线性无关，而且正交。⎡00

10、2⎤2⎢⎥9：Px[]上线性变换σ()f=f′′在基1,,xx下矩阵是000。3⎢⎥⎢⎣000⎥⎦注：教师应使用计算机处理试题的文字、公式、图表等；学生应使用水笔或圆珠笔答题。第页(共页)三、计算题（42分，共四题）⎡12⎤22×112（12分）、设VP=，A=⎢⎥，定义线性变换σ如下：σ()X=XAX,∈V。求σ的特征值22×=⎡⎤⎢⎣21⎦1（12分）、设VP=，A⎥，定义线性变换σ如下：σ()X=∈AX,XV11⎣⎦和特征向量。1）求σ在基EEEE,,,的矩阵（4%）解：设XAX=λ,0XX≠∈,V

11、，则有XEA()λ−=0，这样，我们有

12、λEA−=

13、0，所有特征值是11122122−13，-1。4分1）求σσ()V,(0)的基和维数（8%）。⎡1100−⎤⎡⎤⎡⎤1010当λ=−1时，有⎢⎣001⎥⎢⎦⎣,−1⎥为特征子空间基4分⎦⎢⎥0101解：1）矩阵为⎢⎥4分⎢⎥1010⎡1100⎤⎡⎤⎢⎥当λ=3时，有⎢⎥⎢,⎥为特征子空间基4分⎣⎦0101⎣0011⎦⎣⎦⎡⎤xx⎡xxxx++⎤1001111211211222⎡⎤⎡⎤2）因为Ax⎢⎥==⎢⎥()11+x21⎢⎥⎢+()x21+x22⎥，所

14、以⎣⎦xx2122⎣xxxx11++211222⎦⎣10⎦⎣01⎦1001⎡⎤⎡⎤σ(V)基为⎢⎥,⎢⎥，有dim()σV=24分⎣⎦10⎣⎦01xxxx⎡⎤1112−1⎡⎤1112如果⎢⎥∈σ(0)有A⎢⎥=0，则有xx11+21=+0,xx1222=0，这样我们有：⎣⎦xx2122⎣⎦xx2122xx1001⎡⎤1112⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+xx11⎢⎥⎢⎥12⎣⎦xx2122⎣−10⎦⎣⎦01−32223（8分）设f(x)=(xxm−+1)(1),()xxx=−+(1)(1)为矩阵A的特征多项式和最小多项

15、式。⎡⎤1001⎡⎤−1−1所以σ(0)为⎢⎥,⎢⎥生成子空间（也是σ(0)的基），其维数为2。4分1）求A的Jordan标准形（4%）；⎣⎦−−1001⎣⎦2）求A的初等因子和不变因子（4%）。⎡11⎤⎢⎥1⎢⎥解：1）A的Jordan标准形为⎢1⎥4分⎢⎥−11⎢⎥⎢⎣−1⎥⎦22222）初等因子(1λλλ−),(1−+),(1)2分不变因子1,1,1,(λλλ−−+1),(1)(1)2分第页(共页)⎡⎤1⎡1⎤所以AB,合同1分⎢⎥⎢⎥4（10分）、设A为3阶实对称矩阵，而且A=4，特征值为1，1，

16、λ，如果−1和0为其特征向量，⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0⎢⎣−1⎥⎦2（10分）。设σ是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，α1≠0∈V,λ∈F满足σαλ11=α，求A。而且向量组α1,α2,",αs满足()(σ−λααEii+1==i1,2,",s−1)（其中E为恒等变换）。求证：解：因为4

17、==A

18、1××1λ，所有λ=42分α1,α2,",αs线性无关。⎡⎤1⎡⎤1⎢⎥⎢⎥因为不同特征值下特征向量正交，所以−1和0为特征值1下