随机截断模型下的中心极限定理料

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1、数学年刊23A：3(2002)，345—354随机截断模型下的中心极限定理料何书元木提要在流行病学，生物统计学和天文学中常遇到随机截断数据．在随机截断下，人们关心的随机变量被另一个随机变量y干扰．只有当y时，才能观测到和y．在这个模型下，人们需要用截断数据估计的分布函数F．本文证明，F的非参数最大似然估计R在下述意义下服从中心极限定理．对任何可测函数9(0)，、／元r9(0)【dF(z)一dF(z)】依分布收敛到均值为零方差为的正态分布．从这个结果可以得出F的各种矩，特征函数等估计的渐近正态性．作为推论，还可以得到Fn在整个直线上

2、的依分布收敛．我们的结果不要求和y的分布函数连续，得到的方差公式是简明的．关键词随机截断，乘积限估计，渐近正态性MR(2000)主题分类62G05，60F15中图法分类O211．6，O211．4文献标识码A文章编号1000—8314(2002)03—0345—10§1．引言和主要结果设X1，X2，⋯是概率空间(Q，，P)上的独立同分布(iid．)随机变量列．用F表示他们公共的分布函数．引入F的经验分布函数R()=n∑]．这里Z[A]是的示性函数．对满足．rg2dF<∞的可测函数g，中心极限定理(CLT)说明广一d(R—F)-+dN

3、(O，)．(1．1)'，其中d表示依分布收敛，=．rg2dF一(．rgdF)．本文将在随机截断数据模型下，对F的非参数最大似然估计建立上述的CLT．考虑iid．的随机序列(，ym)，m=1，2，⋯，其中有公共的分布函数F，ym有公共的分布函数G．对每个m，分量和ym是独立的．设只有当时才可以观测到和ym．这样，观测数据是原来数据列的一个子列．为方便，用{(，)，J=1，2，⋯)表示这个观测序列．这时，和不再独立．但是序列{(uj，yj)，J=1，2，⋯)仍然是iid．的(见【1])．以后在只论及分布性质时，将用(x，y)表示(x，

4、)，用(，)表示(，)．随机截断模型由联合分布F(，Y)F(，Y)=p[m，VY]=P[，YylXY](1．2)本文2000年7月18日收到，2001年4月17日收到修改稿}北京大学数学科学学院，北京100871．}}国家自然科学基金(No．19971006)资助的项目．数学年刊23卷A辑定义．在这个模型中，感兴趣的问题是用截断数据(，)，J=1，⋯，佗估计X的分布F．随机截断数据常在天文学，经济学，流行病学，生物统计学和其它领域中出现[-5】．随机事件【XY】影响了X的观测值域．对连续的F，利用截断数据只能估计F0()=P【xl

5、XaG]．(1．3)这里aG=inf{y：a(y)>0)是y的下确界．将用bc=sup{y：a(y)<1)．(1．4)表示y的上确界．类似地用aF，bE，分别表示的上，下确界等．可以看出，当aGaF时Fo=F．定义Go(y)=PlYylY6F】．则当bEbc时G0=G．定义观测数据的经验过程如下(s)=佗一∑s】，G(s)=佗一∑s】，(s)=G(s)一(s一)．(1．5)本文中，对任何实函数g，‘用g(s一)=1g(Y)表示g的左极限．用花括弧夕{s)=g(s)一g(s一)表示g在点8的测度．F0和G0的非参数最大似然估计由下式

6、定义脚一[一]和G[一]，6这里∈(一oo，。。)．定义下标是空集的连乘积为1．对于连续的F和G，在条件aFaG下，【6】证明了当'／2--+。。，supIR()-F(x)I0，a．S．对可以不连续的F和G，【7】得到了下面的结果．对任何非负可测函数g，当下面条件AI：aF=aG，F{aa}G{aa}>0或F{aF}=0或A2：aF>aG成立时，／㈤／)dF㈤a．s(1．7)否则．rg(x)dFn()．『'夕()d。()a-s．佗O0，其中()=P(xlX>aG)．从(1．7)中的收敛性可以得到F的k阶样本矩．f。dFn(x)的收

7、敛性和样本特征函数_厂eitxdFn(x)的收敛性．取g(x)=x[x】，时可以得到R的几乎处处收敛性．上述结果对函数的非负要求是可以去掉的，因为任何可测函数可以分解成正部和负部的差．本文将在随机截断模型下证明．f。夕dR的CLT．这个结果对于F的统计推断是十分重要的．因为由此可以得到有关F的各阶矩估计的渐近正态性和联合渐近正态性．并由此得到F的各种矩估计及特征函数估计的渐近正态性．【9】对右删失数据下的Kaplan—Meier估计得到了类似的结果．但是【9】用的条件和得出的方差公式都过于复杂．特别当F和G有公共的间断点时就更是如

8、此．至今，许多作者都已经认识到左截断模型下的问题研究比右删失模型下的相应问题研究要困难很多．这是因为在F的非参数MLE(1．6)的表达式中，乘积项中的分母在左右两端点都取值0．而在右删失模型下的Kaplan-Meier估计中，它只在右端点取值0，这