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1、《矢量分析与场论》第6讲数量场的方向导数和梯度(2)张元中中国石油大学(北京)地球物理与信息工程学院《矢量分析与场论》主要内容1.梯度的性质2.梯度的运算公式3.梯度的应用教材:第2章,第2节1.梯度的性质梯度由数量场中数量u(M)的分布决定,与坐标系的选择无关。梯度是一个矢量,是数量场u(x,y,z)在点M的0固有特性,与方向l无关。梯度性质1:梯度的大小是M点各种方向中0最大的方向导数。uugradumax()(gradu)lgraducosll1.梯度的性
2、质梯度性质2:数量场u(M)在M点处的梯度垂直于0该点的等值面,且指向函数u(M)增大的方向。梯度性质3:梯度gradu的方向与u等值面的法线重合,且指向增大的方向,大小是方向的unu方向导数。n梯度性质4:梯度gradu的方向,即等值面的法线,是u变化最快的方向,gradu是u下降最快的方向。1.梯度的性质梯度性质5:数量场u(M)在l方向的方向导数是梯度在该方向的投影。即:ugradull把数量场中的每一点的梯度与场中之点一一对应起来,得到一个矢量场,称为由此数量场产生
3、的梯度场。梯度是用一个矢量场来描述一个数量场。1.梯度的性质ds1P2'P1P2dsP2''ds2等值面2等值面1dfdfdfdfds1ds,ds2dsmax,,dsdsdsds12梯度的物理意义:标量场在空间变化最快的方向和大小(描述数量场的非均质性)。1.梯度的性质222例3:设rxyz为点M(x,y,z)的矢径r的模,试证明:rgradrrr证:rxxryrzxx2y2z2ryrzrrrrgradri
4、jkxyzxyzrijkrrrrr1.梯度的性质222例3:设rxyz为点M(x,y,z)的矢径r的模,试证明:rgradrrr证:矢量模的梯度是该矢量的单位矢量。可以进一步推广为:frfgradf(r)rrrr1.梯度的性质例4:求数量场23在点处的梯uxyyzM(2,1,1)度及其在矢量l2i2jk方向的方向导数。uuu解:graduijkxyz232yi(2xyz)j3y
5、zkgradui3j3kMl方向的单位矢量为:l221lijkl3331.梯度的性质23例4:求数量场uxyyz在点M(2,1,1)处的梯度及其在矢量l2i2jk方向的方向导数。解:ugradu[gradul]MlMl22111(3)(3)()33331.梯度的性质223例5:求a,b,c,使uaxybyzczx在M(1,2,1)处沿平行于OZ轴方向的方向导数取最大值为32。解:只要常数a,b,c之值
6、,使得在M处的梯度平行于OZ轴且模为32。2223gradu(ay3czx)i(2axybz)j(by2czx)kgradu(4a3c)i(4ab)j(2b2c)kM欲使gradu平行OZ轴且模为32,则应有:M4a3c0,4ab0,2b2c32a3,b12,c4或a3,b12,c41.梯度的性质2例6:求曲面2xz3xy4x7在其点M(1,-1,2)处的切平面方程。2解:所给曲面,可以视为数量场u2xz3xy4x取值为7时
7、的等值面,其上M处函数的梯度,就是曲面在该点处的法矢量。2gradu(2z3y4)i3xj4xzkMM7i3j8k于是所求的切平面方程为:7(x1)3(y1)8(z2)07x3y8z262.梯度运算公式(1)gradc0C为常数(2)gradcucgraduC为常数(3)grad(uv)gradugradv(4)grad(uv)ugradvvgraduu1grad()(vgraduugradv)(5)2vv'(6)gradf(u)f(u)
8、graduff(7)gradf(u,v)gradugradvuv2.梯度运算公式例:已知矢径rxiyjzk和常矢aaiajak,xyz求grad(ar)。解:araxayazxyzgrad(ar)aiajakxyz进一步指出:数量场ar的等位面是垂直于矢量a的平面,即有方程:axayaz0xyz2.梯度运算公式z例:求数量场u