高职高等数学 第七章 常微分方程 第三节

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1、第七章常微分方程(DifferentialEquation)第三节几类特殊的高阶方程(SomeSpecialDifferentialEquationsofHigherOrder)()n教学目的：1.掌握高阶微分方程yfx()的解法2.会用降阶法求解微分方程yfxy(,),yfyy(,)()n教学内容：1.yfx()型2.yfxy(,)型3.yfyy(,)型()n教学重点：1.微分方程yfx()的解法2.微分方程yfxy(,),yfyy(,)的解法教学难点：微分方程yfxy(,),yfyy(,)的解法教具：多

2、媒体课件教学方法：讲授法精讲：重点讲清以上微分方程的求解方法。多练：在讲授后，通过练习、讨论和分析归纳帮助学生自我消化、自我提高，从而培养学生的计算能力。教学过程：上一节介绍了简单的一阶微分方程的解法，而我们把二阶以及二阶以上的微分方程叫做高阶微分方程。本节将介绍几类特殊的高阶微分方程，这些方程在力学的应用方面经常出现，它们的解往往可以利用变量代换来降阶的方法求得。(n)yf(x)一、沈阳工程学院型方程(n)yf(x)的解可通过逐次积分得到。下面仅以一例加以说明。2x例1解方程yxe。解：对方程两边逐次积分：1212xyxeC1221312xyx

3、eCxC12641412x12yxeCxCxC12324821412x21或yxeCxCxC(CC)123112482二、yf(x,y)型方程yf(x,y)中不显含未知函数y，此方程只要作变换yp(x),则yp。将其代入(2)式可得dpf(x,p)dx此为以p(x)未知函数的一阶微分方程，若可求得其解为p(x,C)，即1y(x,C)，则原方程的通解为1y(x,C)dxC122xy例2解方程y21x解：设yp(x)，则yp，将其代入方程后可得2xpp21x此方程为可分离变量

4、方程，分离变量得dp2xdx2p1x解得其通解为2pC(1x)1从而有沈阳工程学院yC(1x2)，再积分可得原方程的通解为113yC(xx)C123三、yf(y,y)型方程yf(y,y)中右端不显含x，若作变换yp(y)，则dp(y)dpdydpypdxdydxdy将其代入(3)式可得一阶微分方程dppf(y,p)dydydy若可求得通解p(y,C)，则由p可得(y,C)，即11dxdxdydx(y,C)1因此原程的通解为dyxC2(y,C)12例3解方程2yy(y)0，其中y0。dp解

5、：令yp，则yp，代入方程后有dydp22ypp0dy或dpp(2yp)0dy由p0得y0，此时可解得yC；dpdpdy由2yp0，可得，两边积分后有dyp2y1lnplnyC1沈阳工程学院2C1从而p。y3dydyC122因为p，所以有。由此可解得yCxC，即12dxdxy32y(CxC)3122因此，原方程得通解为yC和y(CxC)312★注意此方程的通解有两个表达式，且它们不可相互取代。xx练习：(1)yesinx；(2)xyy0；(3)yxe0()n小结：★yfx()型★y

6、fxy(,)型★yfyy(,)型作业：P143B组1（1），（2），（3）沈阳工程学院