固体物理学讲义3.2new

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1、§3-3一维双原子链声学波和光学波一维双原子链是最简单的复式格子每个元胞含2个不同的原子P和Q如下图假定平衡时原子间距均为aPQ的质量分别为m和M原子限制在沿链的方向运动偏离格点的位移用L,µ2n,µ2n+1,L表示同样假定只有相邻原子之间存在作用互作用能取简谐近似则有mµ&&2n=−β(2µ2n−µ2n+1−µ2n−1)Mµ&&2n+1=−β(2µ2n−µ2n+2−µ2n)同前该2N个联立方程组具有下列的格波解i[ωt−(2na)q]i[ωt−(2n+1)aq]µ2n=Aeµ2n+1=Be1代入并整理得(mω2−2β)A+(2βcosaq)B

2、=02(2βcosaq)A+(Mω−2β)B=0该齐次方程有非零解解的条件是系数矩阵行列式等于零即4222mMω−2β(m+M)ω+4βsinaq=021m+M4mM222解得ω±=β1±1−2sinaq3mM(m+M)代回原方程组得到PQ原子格波的振幅比2Bmω±−2β2βcosaq=−=−A2βcosaqω2−2β±M±讨论1一维复式格子存在两种不同的色散关系ω+(q),ω−(q)即存在两种独立的格波而一维布拉菲格子只存在一种格波2相邻元胞之间晶格常数为2a的位相差位2aq如果2aq等于2π

3、的整数倍则所有元胞的振动情况完全相同第n个元胞和第n′个元胞之间的位相差位为2aq(n−n′)若其等于2π的整数倍则第n个元胞和第n′个元胞振动情况完全相同3同前由1式为了保证波函数µ2n是q的单值函数或者由2式为了使得格波频率和q的一一对πππ应将q限定在aq≤即−

4、h只能取−m则2121Min(ω+)=(β)2Max(ω−)=(β)2mM即两色散曲线没有交点当q=0时ω+,ω−分别取最大值和最小值分别为22(m+M)2

5、Max(ω+)=βMin(ω−)=0mM色散关系如下图6考虑q较小时的行为利用泰勒级数展开可以得到2βω−≈qam+M说明当波长较长时ω−和q成线性关系类似声波在连续弹性介质中传播的情形因此这种格波ω−支叫做声学支也就是说处理长声学波时可以将晶格看成连续弹性介质该色散关系曲线和由完全相同的原子组成的一维布拉菲格子的相仿即由完全相同的原子组成的一维布拉菲格子只有声学波B此外对于长声学波→1即元胞A中两种原子以完全相同的方式运动振幅和相位没有区别声学波实际上代表元胞质心的振动m+M对于ω+支q较小时ω+→2β实际晶mM1314体中ω+(0)

6、~10−−10/s该范围对应远红外光波这是离子晶体对远红外光存在一个强烈的共振吸收峰的缘故因此该支叫做光学支Bm对于长光学支→−即一个元胞中的两A+M不同原子相向运动晶列中同种原子以相同的步调运动由1式且Bm+AM=0即元胞的质心保持固定光学波代表元胞中两个原子的相对运动如下图如果考虑的是由正负离子组成的复式格子将使晶体中产生宏观的极化3-4三维晶格的振动考虑元胞含有n种质量分别为m1,m2,L,mn的原子的复式格vvvv子元胞中心以l(l1l2l3)标记其位矢为R(l)=l1a1+l2a2+l3a3v元胞中各原子的位置用R(l,k)表

7、示沿α方向离开格点的距离表示为µα(l,k)k=1,2Ln同样仅考虑近邻原子的相互作用对于一个典型的元胞有mkµ&&α(l,k)=∑βj(µα(,j)−µα(l,k)),α=1,2,3;k=1,2,L,n;j共计3n个方程表示成矢量形式有解vri[ωt−Rv(l,k)⋅qv]µ(l,k)=A(l,k)e代入方程可以得到3n个以Aα(l,k)为变量的齐次方程组利用齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零得到关于2ω的3n次的本征方程可以求出3n个ωj(j=1,2,L,3n)当表征v波的传播行为的波矢q趋于零时有证明存在3个和一维复式格子类似的

8、声学波3n-3个光学波v同样q受到周期性边界条件的限制而不能连续取值而只能取分立的值vv引入q空间的概念注意到q是和波长成