固体物理学讲义4.3

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1、§4-5紧束缚近似---原子轨道线性组合法紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰。一、模型与微扰计算完全不考虑原子之间的相互影响，考虑简单晶格，每个元胞中只有一个原子，其格矢为：，其附近的电子将以原子束缚态的形式环绕点运动。孤立原子某本征态的波动方程为；（1）晶体中电子运动的波动方程为：为处于格点的单原子势场；表示整个晶体中的周期性势场。把方程（1）看成零级近似所满足是方程，-看成微扰项，因此电子在N个不同的原子附近有N个类似（1）的方程，它们具有相同的能量，即出现N重简并。类似简并微扰方法，将共有化运动的轨道表示成原子轨道的线性

2、组合（LCAO）：，代入晶体中共有化波动方程并利用原子轨道的正交归一性有：作变量代换：注意到晶格势场的周期性有：于是有；，。注意到该方程组是系数是以为变量的函数，因此可以令方程组的解具有：，代入上述方程组得到；该能量表达式和m、n无关，表明其为上述波函数对应的能量本征值，即对于一个确定的，在周期场中的本征函数和能量本征值为：，。考察积分：中两相距的两格点上的波函数，显然只有两波函数存在一定重叠时，积分才不等于零。重叠最完全的是项，计为：其次为次近邻的格矢量上的波函数，因此：上式在每一个对应一个能量本征值，N个不同的值将使原来一个扩展成由N个构成的准连续的能带。一、原子能级和能带的对应1、在

3、晶体中每个原子能级扩展成一个能带，同前面近自由电子近似的结论类似，愈低的能带愈窄，愈高的能带愈宽。这是由于能量最低的代对应于最内层的电子，它们的电子轨道很小，在不同原子间很少相互重叠，因此能带较窄。能量较高的外层电子轨道，在不同原子间将有较多的重叠，长而形成较宽的能带。2、有时原子能级和能带之间不存在上述一一对应的关系。在前面的讨论中只考虑了不同格点（原子）相同原子态之间的相互作用二忽略了不同原子态之间的相互作用。而在形成晶体的过程中，不同原子态之间可能相互混合。只有不同能级间的能量差远大于微扰作用才近似成立。通常可以用能带宽度反映微扰作用的大小。对于低能级，能带宽度较小，表明微扰作用较小

4、，能级和能带之间存在一一对应关系；对于外层电子，能带较宽，表明微扰作用较大，能级和能带之间的关系比较复杂。3、如果是复式格子，能带之间会交叠在一起。§4-6晶体能带的对称性晶体具有对称性，因此晶体中电子的运动状态也有对称性，即本征函数和本征值也存在对称性。