线性代数复习

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1、南京信息工程大学孟祥瑞第一章行列式知识点总结一、基本概念定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数，若i>j，则称(i,j)为一对逆序。定义2逆序数—设iiLi是1,2,L,n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为τ(iiLi)，逆12n12n序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。aaLa11121naaLa定义3D=21222n称为n阶行列式，规定D=∑(−1)τ(j1j2Ljn)aaLa。LLLL1j12j2njnj1j2LjnaaLan1n2nnaaLa11121naaLa21222n定义4把D=中元素a所在的i行元素和j列元素去掉

2、，剩下的n−1行和n−1列元素按照元素ijLLLLaaLan1n2nni+j原来的排列次序构成的n−1阶行列式，称为元素a的余子式，记为M，称A=(−1)M为元素a的代数余子式。ijijijijij二、几个特殊的高阶行列式a0L0a0L0110aL00aL0221、对角行列式—形如称为对角行列式，=aaLa。12nLLOLLLOL00La00LannaaLaa0L011121n110aLaaaL0222n21222、=aaLa，=aaLa。1122nn1122nnLLOLLLOL00LaaaLannn1n2nnAOACAO3、=

3、A

4、⋅

5、B

6、，=

7、A

8、⋅

9、B

10、，=

11、A

12、

13、⋅

14、B

15、。OBOBCB11L1aaLa12n4、范得蒙行列式V(a1,a2,L,an)==C(ai−aj)。LLOL1≤j

16、式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即aaLaaaLaaaLa11121n11121n11121nLLLLLLLLLLLLa+ba+bLa+b=aaLa+bbLb。i1i1i2i2inini1i2ini1i2inLLLLLLLLLLLLaaLaaaLaaaLan1n2nnn1n2nnn1n2nn5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和；

17、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。即n⎧D,当i=j,n⎧D,当i=j,⎧1,i=j∑akiAkj=Dδij=⎨或∑aikAjk=Dδij=⎨其中，δij=⎨k=1⎩0,当i≠j;k=1⎩0,当i≠j.⎩0,i≠j四、行列式的应用—克莱姆法则⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=0⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=0⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2对方程组⎨①及⎨②⎪L⎪L⎪⎩an1x1+an2x2+L+annxn=0⎪⎩an1x1+an2x2+L+annxn

18、=bn其中②称为非齐方程组，①称为②对应的齐次方程组或②的导出方程组。aaLabaLaaaLb11121n1121n11121aaLabaLaaaLb21222n2222n21222令D=,D=,L,D=，其中D称为系数行列式，1nLLLLLLLLLLLLaaLabaLaaaLbn1n2nnnn2nnn1n2n定理1(I)只有零解的充分必要条件是D≠0；①有非零解（或者①有无穷多个解）的充分必要条件是D=0。D定理2(II)有唯一解的充分必要条件是D≠0，且i(i1,2,,n)x==L；当D=0时，②无解，或者有无穷多个解。iD典型例题1、计算排列217986354的逆

19、序数,并讨论其奇偶性解排列217986354逆序010013445于是题设排列的逆序数为：N=5+4+4+3+1+0+0+1+0=18.该排列是偶排列.2南京信息工程大学孟祥瑞2、求排列n(n−1)(n−1)L321的逆序数解排列nn−1n−2…321逆序012…n−3n−2n−1n(n−1)于是题设排列的逆序数为：N=(n−1)+(n−2)+(n−3)+L+2+1+0=.210−13102−541例3设D=3−2−110.，求a=1和a=1的余子式和代数余子式11340021313−1512−54110−11−2−11002−51a=1