线性代数复习大纲

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1、2006年春季学期《线性代数》期末复习大纲一、考试形式：闭卷二、参考书：课本，杨荫华版三、试卷结构题型包括选择、填空和计算题。其中，选择4道20分，填空4道20分，大题3道60分。四、复习要求1、复习基础知识在复习过程中，我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍，掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面。例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是sXn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有

2、的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)=r(或r(A)＝r，秩A＝r)．显然，定义中内涵的要点有：1．A中至少有一个r阶子式不为零；2．所有r阶以上均为零．3．若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零．要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．例1设A是m×n矩阵，r(A)＝r

3、)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．　　(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．　　(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零．　　答案：(B)基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实

4、．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要

5、．只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历次考试中，不乏有教训惨痛的人．　2、活用概念线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，所以我们应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．五、知识复习第一部分线性代数中的最基本概念基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行

6、一次测试.1.矩阵(1)基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.(2)线性运算和转置加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个m´n的矩阵A与应该

7、数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0Ûc=0或A=0.转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作AT(或A¢).有以下规律:①(AT)T=A.②(A+B)T=AT+BT.③(cA)T=(cA)T.(3)n阶矩阵几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称

8、为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作

9、A

10、,称为A的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的