石墨烯能带结构的紧束缚近似计算new

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1、第32卷第1期广西物理GUANGXIPHYSICSVol.32No.12011*石墨烯能带结构的紧束缚近似计算†梁先庆(广西大学物理科学与工程技术学院，广西南宁530004)摘要：固体能带理论是固体物理学的一个重要理论基础，被广泛应用于材料电学性质的研究。为结合科学前沿教学，以当前热门材料石墨烯为例，介绍紧束缚近似法在石墨烯能带结构计算上的详细过程，并借助Matlab软件展示了其能带结构，进而从理论上解释石墨烯所具有的独特电学性质。关键词：紧束缚近似；石墨烯；能带结构中图分类号：O481.1文献标识码：A文章编号：1003-7551(2011)01-

2、0007-041引言固体物理是研究固态物质的微观结构以及组成固体的粒子—原子、离子和电子等之间的相互作用与运动规律，揭示固体宏观物性与其粒子结构和运动之间关系的一门学科，是物理学的一个重要分支，已经成为许[1]多现代科学和高新技术发展的基础。正是由于它的重要应用，固体物理学已经成为大学物理专业、材料物理专业以及电子科学与技术专业一门重要的基础理论和应用课程，它与当今最活跃的凝聚态物理和新型材料[2]科学紧密联系在一起。所以，选择性的将这些领域的最新研究进展和应用成果引入课堂，将有助于提高学生对该门课程的学习积极性，明确努力方向，让学生感觉到所接受的知

3、识能学以致用，使自己融入现代科学的发展中。这样不仅能极大的拓展学生的视野，同时还能激发起学生运用基础科学理论研究现代科学创新的勇气和欲望。能带理论是固体物理学中的一个重要理论基础部分，对微电子技术的发展起了重要的作用。在能带的计算方法中，紧束缚近似方法的理论形式相对比较简结，解决问题的思路也非常明确，有利于加深对本征方程求解、基矢选择、倒空间以及能带图的理解，是一个重要的知识点。2010年的诺贝尔物理学奖授予了两位发[3]现石墨烯的科学家，主要是由于这种材料具有特殊的结构和电学性质，在未来具有巨大的潜在应用前景。[4]自从被发现以来，石墨烯就已成为备

4、受瞩目的国际前沿和研究热点。因此，在这我们将展示固体物理学中的紧束缚近似方法在石墨烯能带结构研究上的应用，这样既加深了对所学知识的理解，同时还展示了所学知识在前沿科学上的应用，进而激发学生学习和探索的积极性。2石墨烯能带结构的紧束缚近似计算石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图1左边所示。每个碳原子都具有四个价电子，2并按平面正三角形等距离的和3个碳原子相连，每个碳原子以sp杂化和周围的3个碳原子形成3个σ键。它们的波函数形式为：1[ψ(2s)+2ψ(δ2p)](i=1,2,3)cci3式中ψc(2s)、ψc(σi2p)分别为2s、δi

5、方向上2p轨道的波函数。在垂直于石墨层的方向上还剩余的一个2pz轨道和一个价电子与近邻原子相互作用形成贯穿于整个石墨层的离域π键。由于位于平面内σ键的3个电子并不参与导电，因此我们在计算石墨烯的能带结构时只考虑位于π键上的那一个电子。石墨烯的每个原胞包含两个不等价的碳原子A和B，它们之间的键长a=1.42Å。如图1左边所示，取晶格的基矢为：收稿日期：2011-03-10*基金项目：广西大学科研基金资助项目(XBZ100787)†通讯作者：lxq@gxu.edu.cn7石墨烯能带结构的紧束缚近似计算图1石墨烯的晶格结构及相对应的倒空间和布里渊区33aa

6、ai=+j（1）12233aaai=−j（2）222那么对应的石墨烯晶格K空间的倒格子基矢为：2π23πbi=+j（3）133aa2π23πbi=−j（4）233aa2π23π由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六个顶点的坐标位置，分别为：（,)，39aa2π23π43π43π2π23π2π23π（,)−，(0,)，(0,−)，(,)−，(,−−)，如图1右边所示。与晶格3a9a9a9a39aa39aa相对应，倒空间的每个原胞也只包含两个不等价的点，即图1右边所标示的K和K’点。每个碳原子A有3个最近邻的碳原子B，它们之间的连接矢量分别为：aa

7、3δ=+ij（5）122aa3δ=−ij（6）222δ=−ai（7）3我们选择一组紧束缚下的归一化基矢{ϕ,ϕ}：121ikR⋅Aϕφ=−ej()rRA1∑j（8）Nj1ikR⋅Bϕφ=−ej()rRB2∑j（9）Nj其中N为晶体的原胞数，φ()r为碳原子pz轨道的波函数，矢量Raaj=+nm12为第j=(n,m)个原胞的位矢，ABR、R则分别为第j个原胞中A原子和B原子的位矢。jj在紧束缚近似下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到，这种组合通常可以表示为：8第32卷第1期广西物理GUANGXIPHYSICSVol.32No.120111ii

8、kR⋅⋅ABkRψ()rr=+=ccϕϕ[ecjjφ(−+RAB)ecφ(r−R)]1122∑1jj2（10