tight-binding方法在计算石墨烯能带中的应用

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1、Tight-Binding方法在计算石墨烯能带中的应用施仲诚1、2，房鸿1(西安工业大学理学院，陕西西安710032北京师范大学低能核物理研究所，北京100875;）摘要：通过引入紧束缚近似理论，使用MATLAB计算了石墨烯的能带和π能带图。结果表明，考虑最近邻原子影响，在Ｋ-Γ-Ｍ-Ｋ方向的全能带图中，观察到了能带的简并特性及能带间的跳跃，与其他方法（如第一原理）符合得很好。在正交基矢下，π能带（价带和导带）具有完全的对称性，加入轨道重叠后（即非正交基矢），这种对称性被破坏，具体表现为：价带靠近费米面，导带远离费米面，

2、从能量的位移上可以发现，远离比靠近的趋势更为明显。关键词：紧束缚近似；最近邻原子；能带；轨道重叠；费米面自从2004年，英国的两位科学家安德烈·盖姆和克斯特亚·诺沃塞洛夫等人在实验室中成功制备处单层石墨烯材料[1]以来，人们开始又重新审视前人对于石墨烯的数值计算工作，尤其使用紧束缚近似[2,3,4]的方法对于石墨烯最近邻原子轨道的能带（不考虑重叠积分）的计算工作，另一部分人则在此基础上考虑了重叠积分的修正。紧束缚近似方法是折中于效率和精确度之间的一种算法，最初于1954年[5]提出，这种方法在体材料能带计算中显示出较大优

3、势，并被适用于表面态和低维材料能带的计算，其模型被不断的修正，所得到的结果也越来越接近实验数据和第一性原理计算所得到的结果，与第一性原理计算方法不同，紧束缚近似计算方法需要一些拟合参数，但其计算效率高，物理图象清晰，因此既适合于能带的定量计算又适合定性分析，在物理学中得到广泛采用。*收稿日期:2011-7-28作者简介:施仲诚(1987)，男，西安工业大学硕士研究生，主要研究方向为光学、分子振动。Email:bozhong108@163.com.不过，由于石墨烯是sp2杂化，剩余1个未参与杂化的π轨道，杂化所形成的是σ键

4、，与力学性质相关，π轨道在平面上形成离域大π键，与电学性质相关。前人的很多工作集中在电学性质[3,6,7]的研究方面，这里我们对σ键形成的能带也进行了计算。我们采用参考文献中通过实验数据和第一性原理计算方法[8]拟合出的数据所得到参数，使用Matlab编程计算了单层石墨烯在最近邻原子的能带。1理论方法与计算细节1.1全能带采取原子轨道的线性组合（LCAO）作为基矢，即波函数可以用正交基矢来展开：式中是第个原子的第个轨道，是晶体的原胞数，是原子的位矢。这里，我们只考虑这四个轨道上的电子。由于A原子和B原子的特异性，我们标记

5、了8个轨道，分别命名为和。哈密顿量为其中，紧束缚矩阵元[5]可写为原子轨道之间的相互作用可作如下标记：展开计算矩阵元可得这里是向量的方向余弦。图1单层石墨烯的晶格结构Fig.1thelatticestructureofsinglelayergraphene对于单层石墨烯（如图1），一个晶胞中含有2个原子，分别为A原子和B原子，假设A原子为中心，三个与他最近邻的B原子的位置分别为，其中，为最近邻原子距离，且。于是，我们得到方向余弦为可以看出，，那么，紧束缚矩阵可以写成：其中的每一个子矩阵都是一个的矩阵，形式类似如下：用类似

6、的方法，我们可以计算出最后，我们能得到我们最后的的矩阵得到了紧束缚矩的哈密顿量，然后解薛定谔方程就能得出的本征值：每给一个，我们就可以得到一组8个方程的方程组，就很容易解出，之后得到能带图。1.2能带现在，为了进一步关注石墨烯的电学性质，我们用紧束缚方法解双原子石墨烯晶胞中电子特征方程。这里，我们只考虑了最近邻原子间的相互作用，所以，A型或者B型原子中的任意一个原子在它周围都有3个与它不同类型的原子是它的最近邻原子，对角的哈密顿量矩阵元和重叠积分可以简单的写成：对于矩阵元和，一个原子到最近邻的三个原子的向量为之后我们可以

7、算出非对角的哈密顿矩阵元和重叠积分矩阵元其中是三个最近邻原子的相因子之和和分别是跳跃参数和重叠矩阵参数，这时，哈密顿矩阵和交叠积分矩阵都是厄米共轭的。薛定谔方程变为解这个方程，能得到石墨烯的价带和导带的能量色散关系。其中，和分别代表价带和导带。是的绝对值，另外，根据第一性原理[8]所拟合的参数为，，，具体计算时，，.[9]2结果与讨论2.1全能带图（）图2Ｋ-Γ-Ｍ-Ｋ方向的能带图Fig.2ThebandstructureinＫ-Γ-Ｍ-Ｋdirection单层石墨烯的第一布里渊区为正六边形（如图2），具有点群D6的对称

8、性，有12个对称性操作元素，现分别对3个高对称点能级的简并特点讨论：（Ⅰ）Γ点（）D6群的12个对称性操作均保持不变，波矢群即D6点群。这个群有6个不可约表示，这些表示的维数应满足其解只能为12+12+12+12+22+22=12，因此，Γ点能带有两个二重简并（doublydegenerate）出现。如图2,在Ｋ点到