高等数学教学中关于学生思维能力培养的研究与探索

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1、第17卷第1期工科数学Vol.17，N0.12001年2月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYFeb.2001高等数学教学中关于学生思维能力培养的研究与探索王涛(辽宁工学院基础部，锦州121001)[摘要]在教学过程中，按照学生的知识和能力结构，结合高等数学的教学内容及特点，本文针对如何运用推理手段培养学生的逆向思维能力、设置相关问题培养学生创造思维能力、编制解题方法流程图培养学生发散型思维能力以及如何引人教学案例，解决思维障碍问题进行了研究和探索.〔关键词〕逆向思维;创造思维;发散型思维;教学案例「中图分类号1013[文献标识码〕C〔文章编号]1007-412

2、0(2001)01-0080-05尽管一个学生思维能力、逻辑推理能力和计算能力的培养是一个复杂的系统工程，但高等数学作为工科大学生的一门重要的基础课程，在这些方面起着举足轻重的作用.学生的逻辑思维能力要在这里起步，逻辑推理能力要在这里得到训练，分析问题和解决问题的能力要在这里得到培养和提高，综观二十一世纪课程体系和教学内容的改革、学生素质教育的发展要求，因此在高等数学的教学实践中，研究和探索如何培养学生的思维能力问题是非常重要的.1运用推理手段培养学生逆向思维能力一提起数学，有很多人为其“内容之丰富、应用之广泛”而赞叹不已，又有很多人为其“逻辑之严谨、推理之深奥”而望而却步.所以在高等数学的

3、教学中，无论是分析问题的训练，还是计算能力的提高，其前提条件是数学思维能力的培养.而在高等数学的证明中，逆向思维是最有用的方法之一，它使得我们在已知结论的条件下，寻找其成立的条件和原因，一旦在分析问题中使用了这种方法，必然使得有据可循，分析透彻，思维流畅.例1设f(x)在〔“，司上连续，在((a,b)内具有一阶和二阶可导，若在((a,b)内f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上是凹的.【分析】采用逆向思维方法:要证明f(x)在[[a,b]上是凹的，按照定义只需证明dx=x2E[a,b]，不妨设XI

4、一行人二。二、，。。'}x0=—下一一，Vf侠ulm只mU上明:乙f(XI)Gf(xi)+f(x2)，等价于证明f(x2)+f(x,)一2f(x,)=(f(x2)一f(二。))十(f(xi)一f(二(〕))>0-[收稿日期〕1999-11-29万方数据第1期王涛:高等数学教学中关于学生思维能力培养的研究与探索要从函数的差值向函数导数的转换，必然联想到应用拉格朗日中值定理作为工具，即f(x,)一f(xo)=f(}1)(x，一x,)一f,(soxI-2X2，f(xz)一f(二。)=f($2)(X2一xo)一f'(soxz借x1.因此WX2)一f(xo))+(f(x,)一f(xo))一(f(}z)

5、一f(g1))x-z于x,,乙而X2-xi>0，所以往证尹($2)一尹(},)>0.再应用拉格朗日中值定理，得f($2)一f($1)=f($$)($z一},)(},Gs}<}z).由已知条件恰好有f"(})>0.从而有f(X2)+f(x,)-2f(x,)>0，即汀x,+x2)，f(x,)+f(X2)I}一一不万一一}<、乙/2由此定理成立.例2证明:当二>0时，

6、b之间.如果假设在((a,b)内有g(x)

7、"}F落、i沪-以7,ln(l+x)一0In(.I+x)一ln(l+O)/，弓夭—=一--一--，，尸-一，-----------一一一~~-~‘火、1.l+xx-u分析到上式为止，就很容易抓住应用拉格朗日中值定理解决问题的二要素:取区间为[[a,b]=[O,x]，定函数f(t)=ln(1+t)，由拉格朗日中值定理，得ln(l+x)一lnl(0<$