大学物理第10章

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1、第十章真空中的静电场−1510-1卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到10m时，它们之间的斥力仍遵守库仑定律。已知金原子核中有79个质子，α粒子中有2个质子，每个质子的带电量为−19−27−121.6×10C，α粒子的质量为6.68×10kg。当α粒子与金原子核相距6.9×10m时，试求：(1)α粒子所受的力；(2)α粒子的加速度。[解](1)α粒子电量2e，金核电量为79e。α粒子所受的库仑力为1q1q212e⋅79e−4F===7.64×10N4πεr24πε()−122006.9×10(2)α粒子的加速度−4F7.64×10232a

2、===1.14×10ms−27m6.68×1010-2如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。q[解]建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元dq=dx，它在PL点产生的电场强度为1dq1qLdE==dx224πε0()L+d−x4πε0()L+d−x则整个带电直导线在P点产生的电场强度为L1qL1qE=dx=∫04πε()24πεd()L+d0L+d−x0q故E=i4πεd()L+d010-3两根相同均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ，沿同一直线放置，两

3、细棒间最近距离也是L，如图所示。设棒上的电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。[解一]先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。计算左棒场强再求右棒所受电场力。建立如图所示坐标系，在距O点为x处取微元λdx，它在距O点x′处产生的场强为λdxdE=()24πεx′−x01因此左棒在x′处产生的场强为Lλdxλ⎛11⎞E==⎜−⎟∫04()xx24πεx′−Lx′πε0′−0⎝⎠在x′处取电荷元λdx′，它受到的左棒的电场力为2λ⎛11⎞dF=λdx′⋅E=⎜−⎟dx′4πε0⎝x′−Lx′⎠右棒受的总电场力为2223Lλ3L⎛11⎞λ⎛3

4、L−L3L⎞λ4F=∫dF=∫⎜−⎟dx′=⎜ln−ln⎟=ln2L4πε2L⎝x′−Lx′⎠4πε⎝2L−L2L⎠4πε3000[解二]求电荷元λdx与λdx′的库仑力叠加。在两带电细棒上各取一微元λdx′、λdx，它们之间的距离为r=x′−x，则λdx′受λdx的库仑力为λdx⋅λdx′dF=()24πεx′−x02223LLλdxλ3L⎛11⎞λ4F=dx′=⎜−⎟dx′=ln∫2L∫04πε()x′−x24πε∫2L⎝x′−Lx′⎠4πε3000F方向为x正向，左棒受右棒库仑力F′=−F10-4用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均

5、匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。Q[解]将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量dq=dlπRQdldqπRdq在O点的场强dE==224πεR4πεR00从对称性分析，y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强QdE=dE⋅sinθ=sinθ⋅dldl=Rdθx234πεR0QsinθdE=dθx224πεR02πQsinθQE=dE=dθ=方向沿x轴正方向x∫x∫04π2εR22π2εR20010-5如图所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电量q，下半段均匀带有电量-q。求半圆中心点O处的电场强度E。[解]上半

6、部产生的场强将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段dlq(所带电量dq=dl)πR2dq在O点产生的场强dE=方向如图所示+24πεR0下半部产生的场强−q以x轴为对称轴取跟dl对称的一小段dl′(所带电量dq=dl′)πR2dq在O点产生的场强dE=方向如图所示−24πεR0根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分量dqdE=dE⋅sinθ=⋅sinθy+24πεR02q2dlπ2dqπR2qRq总场强E=2dE=⋅sinθ=⋅sinθ=⋅sinθdθ=y∫y∫2∫2∫023224πεR4πεRπεRπεR000010

7、-6如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。3λ[解]dθ对应的无限长直线单位长带的电量为dq=dθπ它在轴线O产生的场强的大小为dqλdθdE==(见27页例1)22πεR2πεR00λcosθdθ因对称性dE成对抵消dE=dE⋅cosθ=yx22πεR0πλcosθdθλE=dE=22=∫x∫02π2εRπ2εR0010-7一半径为R、长度为L的均匀带电圆柱面，总电量为Q。试求端面处轴线上点P的场强。Q[解]取如图所示的坐标，在圆柱上取宽为dz的圆环，其上带电量为dq

8、=dz，由例题3（18L页）知，该圆环在轴线上任一点P产生的电场强度的大小为Q()L−zdzLdE=232[]2()4πεR+L−z0整个圆柱形薄片在P点产生的电场