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1、武汉大学数学与统计学院重修试题答案2006－2007学年第二学期《线性代数D》（工36）一、解：A1=−≠0,因此矩阵A可逆，且有⎛⎞112−−−1⎜⎟A0=11；⎜⎟⎜⎟⎝⎠001−故∗−11−−13−1AAA−=−=33AA(−=4)A64二、解：由2ABB−=−AE,()AEB−=−(AE)(AE+)，又AE−≠−0,AE可逆则,⎡201⎤⎛603-⎞⎢⎥*⎜⎟BAE=+=030030，B=.⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣102⎦⎝⎜⎟-306⎠TTTTT三、证：由A＝O知A＝O，AXO=有非零解，故存在B使ABO=，即证BAO=。四、解（1）方程组的系数行列式λ112Δ=111λλλ=()
2、−(+2),11λ所以当λ≠−2且λ≠1时，RARA()=()=3,从而方程组有惟一解.（2）当λ=−2时，RA()==2,RA()3,由于R()ARA≠(),方程组无解.（3）当λ−1时，有⎡1112−⎤⎢⎥A→0000⎢⎥，⎢⎣0000⎥⎦可见RARA()==()13,<故方程组有无穷多组解：xx12=−−−2.x3T令xx23==0,得其特解u0=−()2,0,0.与原方程组的导出组同解的方程组为：x=−−xx.由此可得基础解系为123TTvv12=−()()1,1,0,=−1,0,1.于是，原方程组的全部解为⎡⎤⎡⎤−21−⎢⎥⎢⎥xucvcv=++=00+c,（其中cc,
3、是任意常数）.01122⎢⎥⎢⎥112⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦01⎛⎞1011⎜⎟A==(,,,)ξξξξ1112五、令1234⎜⎟，对A作初等行变换，则⎜⎟0111⎝⎠⎛⎞10111011⎛⎞⎜⎟⎜⎟0101∼0101=BA→⎜⎟⎜⎟，⎜⎟⎝⎠0111⎜⎝0010⎟⎠其中B的前三列显然线性无关。故向量组的秩为3，且ξ,,ξξ构成一个极大无关组。123容易看出ξ+=ξξ，而第一、二、四列不能表达第三列，故只有ξ不能由其余向量1243线性表达。⎛⎞011⎜⎟六、解：（1）A=−⎜⎟101；⎜⎟⎝⎠110−−λ11（2）由f()1λλλ=−−=1−−+=(1)(2)0,λ得11−−λλ=λλ=
4、=1,−2，123⎛⎞−111⎛⎞x1⎜⎟⎜⎟对λ==λ1,解线性方程组11−1−=xoxxx⇒−−=0,基础解系为：12⎜⎟⎜⎟2123⎜⎟⎜⎟⎝⎠11−−1⎝⎠x3ΤΤξξ==(1,0,1),(1,1,0)，12其全部特征向量为kkkξ+ξ(,k不全为零）；112212⎛⎞211⎛⎞x1⎜⎟⎜⎟⎧20xxx123++=对λ=−2，解线性方程组121−xo=⇒⎨基础解系为：3⎜⎟⎜⎟2⎩xxx−+=20，⎜⎟⎜⎟123⎝⎠112−⎝⎠x3Τξ=(1,1,1)−−，3其全部特征向量为kkξ(0≠)；333111Τ（3）正交规范化得：ββ==(1,0,1),(1,2,1)−−；β=(
5、1,1,1)−−则所123，263⎛⎞1-11⎜⎟263⎜⎟⎜⎟-2-1222求正交变换阵P=⎜0⎟，变换之下的标准形为：fyyy=+−1223；63⎜⎟⎜⎟11-1⎜⎟⎝⎠2632（4）由正交变换保持向量的长度不变，则XY==1，并注意到01≤≤y，则322222222fyyyyyyy=+−=++−23=−13y，123123332Τ且有−≤−213y≤1，即f的最大值为1，最小值为−2。比如令Y=(0,0,1)，有3Τminf=−2,令Y=(1,0,0)，有maxf=1。七、解1、令得，，且,即t≠5t=5时，方程组只有零解，相应地，线性无关.再由xxx11α++=22αα33
6、β得方程组⎧xxx++=−3123⎪⎨xxx+23+=8123，⎪⎩xxx+32+=212325117解得β=−αα12−+α3333解2：令B=+(αβαβαββ12,,+...,k+),则B∼(α12,,αα...,kβ)但α12,,ααβ...,k线性无关，否则由λβλα+11+⋅⋅⋅+λαkk=O，必有β=+μα⋅⋅⋅+μα，11kk再注意到Aβ≠O而A(μα11+⋅⋅⋅+μαkk)=O，得出矛盾。由于B∼(α12,,αα...k,β)，则由等价阵有相同的秩知B是列满秩，从而向量组α++βαβ,,...α+ββ,12k线性无关。
