二叉树与堆栈的等价关系

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1、午）第1问画出所有4个节点的二叉树第2问已知字符进栈的顺序为ABCD，求所有可能的出栈顺序的种树。注：这两小题属于组合计数问题。系统内容可参见组合数学课程相关教材。第1问画出4个节点的二叉树的所有二叉树。根据大小排序的所有4节点二叉树，一共14种。解答：二叉树可以其中，排序规则如下：intcompare(BiTreet1,BiTreet2){//比较二叉树的大小,返回-1、0或1if(t1==NULL&&t2==NULL)return0;if(t1==NULL&&t2!=NULL)return-1;if(t1!=NULL&&

2、t2==NULL)return1;intcmpleft=compare(t1->left,t2->left);if(cmpleft!=0)returncmpleft;elsereturncompare(t1->right,t2->right);}思考题1：[树的计数]求具有n个结点的二叉树的数目。解答：设具有k个结点的的二叉树的数目为f(k)，则  1。当k=0时，是一棵空树，只有一种。  2。当k>0时，二叉树可分为根结点、具有i个结点的左子树与具有k-1-i个结点的右子树。于是具有k个结点的二叉树的数目等于具有i个结点的

3、二叉树的数目与具有k-1-i个结点的二叉树的数目的乘积。写成公式，就是：    可以用递推解得：，但是递推的方法计算复杂度会递增，f(k)需要计算k(k-1)/2次乘法。可以直接计算出通项公式：  （详细求解过程参看《组合数学》教材的“母函数（生成函数）、卡特朗数”章节）。其中的C(n,2n)表示从2n个不同的数中取n个数的组合数。  所以本题的答案为种。思考题2：[遍历构造二叉树]打印所有n个结点的二叉树。参考思考题1中的思路，对于make(t,k),可以分解为生成根节点t，make(t->left,i),make(t->

4、right,k-1-i)三步，从而可以遍历构造出所有的二叉树。第2问第二问可以转化为与第一问等价的问题。将这个问题与上一个问题比较一下：输入序列的排列状态(ABCD)是二叉树的前序序列；ABCD的进栈与出栈对应于二叉树结点的进栈与出栈；ABCD出栈后的排列状态正是二叉树的中序序列。  所以，求出栈的总数就等价于求二叉树的个数！！！将两道题对应起来看，不难发现，字母ABCD出栈后的可能排列方式的数目就是二叉树的中序序列的数目，也就是二叉树的数目。  与第一问一样：14种。思考题3：请问：已知字符入栈顺序为ABCDEFGHI，请

5、问BCDAEGFIH是否可能是出栈序列？解答提示：同理地，如果要判断某个序列B能否构成入栈序列A的出栈序列，等价于判断：以序列A为先序、B为后序，能否够构成二叉树（那个算法你写过的）。思考题4：本题解法中，采用的是“输入序列~~树的先序遍历，输出序列~~树的中序遍历”，是否有其他的映射方法。能否用中序遍历、后序遍历对应？或者先序遍历、后序遍历对应？为什么？