考研高等数学知识点(线性代数)new

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1、考研数学知识点－线性代数第一讲基本知识T反对称矩阵A=−A。二．矩阵和向量1．线性运算与转置①A+B=B+A三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵②()A+B+C=A+()B+C⎧初等行变换初等变换分⎨③c()A+B=cA+cB()c+dA=cA+dA⎩初等列变换三类初等行变换④c()()dA=cdA①交换两行的上下位置⑤cA=0⇔c=0或A=0。A→B向量组的线性组合②用非零常数c乘某一行。③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）α,α,Λ,α，12s阶梯形矩阵cα+Λcα++cα。⎛41020⎞1122ss⎜⎟10⎜0−1251⎟转置⎜⎟2100023T⎜⎜⎟⎟43A的转置A（或A′）⎝0

2、0000⎠T①如果有零行，则都在下面。T()A=A②各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。TTT()A±B=A±B或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。TT()cA=c()A。台角：各非零行第一个非0元素所在位置。简单阶梯形矩阵：3．n阶矩阵3．台角位置的元素都为1n行、n列的矩阵。4．台角正上方的元素都为0。对角线，其上元素的行标、列标相等a,a,Λ1122⎛*00⎞每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单⎜⎟阶梯形矩阵。对角矩阵⎜0*0⎟⎜⎟如果A是一个n阶矩阵⎝00*⎠A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵，反之不一定，⎛300⎞如⎜⎟数量矩阵

3、⎜030⎟=3E⎛001⎞⎜⎟⎜⎝003⎟⎠⎜010⎟是上三角，但非阶梯形⎜⎟⎝001⎠⎛100⎞⎜⎟单位矩阵⎜010⎟E或I⎜⎟四．线性方程组的矩阵消元法⎝001⎠用同解变换化简方程再求解⎛***⎞三种同解变换：⎜⎟①交换两个方程的上下位置。上（下）三角矩阵⎜0**⎟⎜⎟②用一个非0数c乘某一个方程。⎝00*⎠③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。T对称矩阵A=A。1Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点－线性代数aaΛa11121n矩阵消元法：aaΛa21222n①写出增广矩阵()Aβ，用初等行变换化()Aβ为阶梯ΛΛΛΛaa

4、Λan1n2nn形矩阵()Bγ。A是n阶矩阵，A表示相应的行列式。②用()Bγ判别解的情况。二．定义（完全展开式）i）如果()Bγ最下面的非零行为()0,Λ,0d，则无解，否则有解。ab=ad−bcii）如果有解，记γ是()Bγ的非零行数，则cdγ=n时唯一解。γ

5、nn⎜⎟0000b⎝nn⎠①是n!项的代数和②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项则b≠0⇒b≠0⇒Λb都不为0。nnn−1n−1iiaaΛa1j12j2njn于是把()Bγ化出的简单阶梯形矩阵应为00其中jjΛj是1,2,Λ,n的一个全排列。12n⎛1000c⎞1⎜⎟⎜0100c2⎟③a1j1Λanjn前面乘的应为⎜⎟00Ο0Μ⎜⎜⎟⎟τ(j1j2Λjn)0001c(−1)⎝n⎠⎧x1=c1,τ(jjΛj)的逆序数12n⎪⎪x2=c2,其方程为⎨即()c1,c2,Λ,cn就是解。Μ1,2,Λ,n⎪⎪x=c,⎩nnτ()j1j2Λjn=∑()−1a1j1a2j2Λanjn第二讲行列

6、式j1j2Λjn一．形式与意义2Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点－线性代数000b100b2*τ()n()n−1Λ21=()−1bbΛb12n0Ν**b***n4．第一类初等变换使值变号2n()n−15．如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者τ()n()n−1Λ21=C=n2有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素三．计算（化零降阶法）代数余子式之和为0。A∗A0余子式和代数余子式7．==AB0B∗B8．范德蒙行列11Λ1aaΛa11n2=∏(aj−ai)Cn个i

7、有规律的行列式的计算A=()−1Mijij定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元六．克莱姆法则素与各自代数余子式乘积之和。克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵D=ΛaA+aA++aA212122222n2n（即方程个数m=未知数个数n），则A≠0时，方程组唯一解，此解为四．行列式的其它性质T⎛⎞1．转置值不变A=ADDD⎜1,2,Λ,n⎟⎜AAA⎟2．用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘c⎝⎠cA=cnA⎛b1⎞⎜⎟⎜b2⎟3．行列式和