2013考研数学高等数学导学new

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1、旺旺：韩圆圆1shop35250918.taobao.com讲义配套课程说明1、配套课程名称2013年考研数学高等数学导学（王福海）2、课程内容此课件为2013考研数学导学阶段课程。此课程主讲高数阶段的极限，导数，不定积等基础阶段的知识，让学员在考研高数的复习初期扎牢基础。3、主讲师资：汤家凤4、讲义：27页（电子版）文都网校2011年11月旺旺：韩圆圆1shop35250918.taobao.com2013考研数学高等数学导学----突破极限、导数、不定积分王福海2011年第一讲极限与连续第一讲极限与连续§1极限的概念一、初等函数：πππ例1（11）设I=∫4lnsinxdxJ,=∫4

2、lncosxdxK,=∫4lncotxdx，则有-----------000（AIε0，存在δ>0,当00(0)<，则在x的某个去心邻域内fx()>0(0)<，（对其它0x→x0极限过程也有类似性质）。例2（07）设lim()fx=4，则有-------------------x→1（A）f(1)=4(B)f(x)在x=1处无定义(c)在x=1的某邻域

3、内,f(x)>0(D)在x=1的某去心邻域f(x)>2§2极限的计算方法常用结论：nn1、当a>0时，lima=1,limn=1；n→∞n→∞n2、当a<1时，lima=0。n→∞·1·旺旺：韩圆圆1shop35250918.taobao.comππ3、limarctanx=,limarctanx=−x→+∞2x→−∞2limarccotx=0,limarccotx=πx→+∞x→−∞1+⎧⎪+∞x→04、lim2x=⎨x→0⎪⎩0x→0−（一）恒等变形法：设lim()fx=A,lim()gx=B则lim(()(fx±gx())=lim()fx±lim(),gxlim()fx⋅gx()=

4、lim()lim(),fx⋅gxfx()lim()fxlim=,若lim()gx≠0gx()lim()gx2例1lim(nn+−1n)n→∞⎡111⎤例2lim⎢++⋯+⎥n→∞⎣12×23×nn(+1)⎦（二）利用夹逼定理：设在x0的某去心邻域内恒有gx()≤fx()≤hx()，且lim()gx=lim()hx=A,则必有x→x0x→x0lim()fx=A。（对数列极限也成立）x→x0⎛111⎞例3lim⎜++⋯+⎟=。n→∞⎜222⎟⎝n+1n+2n+n⎠·2·第一讲极限与连续nnnn例4lim2+3+4=。n→∞n−n−n例5（08）设0

5、单调有界原理：定理：单调有界数列必有极限；1a例6设a>0,x>0,x=(x+)，证明limx存在并求其值。1n+1nn2xn→∞n（四）利用等价无穷小：1、定义：设limα()x=0,limβ()x=0x→x0x→x0(x→∞)(x→∞)α()x1）若lim=0，则称α()x是比β()x高阶的无穷小，记为α()x=o(β()x)；β()xα()x2）若lim=∞，则称α()x是比β()x低阶的无穷小；β()xα()x3）若lim=C，(C≠0)则称α()x是与β()x同阶的无穷小；β()xα()x4）若lim=1，则称α()x是与β()x等价的无穷小，记为α()x∼β()x；β()xα

6、()x5）若lim=C，(C≠0)，k>0，则称α()x为β()x的k阶无穷小。kβ()x2、常用的等价无穷小：当x→0时，·3·旺旺：韩圆圆1shop35250918.taobao.comxx~sin~arcsin~tan~arctan~xxxe−1~ln(1+x)，2xk1cos~−x,(1+x)−1~kx，2xln(1+x)例7（06一）lim=。x→01cos−x1例8lim1tan3⎡+2x⎤sin2x=。x→0⎣⎦coxee−例9(09)lim=。x→0321+x−113nn(n−1)(x−1)(x−1)例10lim=。例11limn→∞lnnx→11cos+πx（五）、利用

7、罗必塔法则：fx′()1、若lim()fx=0(或∞),lim()gx=0(或∞)，且f(x),g(x)可导，则当lim存在或为∞时，gx′()fx()fx′()lim=limgx()gx′()·4·第一讲极限与连续2、若limfx()=A，则lim()fn=A。x→+∞n→∞(sinx−sin(sin))sinxx例12（10）求lim。4x→0x2x例13lim()=。x→01+xsinx−cosxn111⎛⎞⎜an+bn+cn