概率论与数理统计2new

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1、习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,51PX(=3)==0.13C53PX(=4)==0.33C52C4PX(=5)==0.63C5故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)133PX{≤},{1P

2、2213PX(=1)==.3C35151C113PX(=2)==.3C3515故X的分布律为X012P22121353535（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=022当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=35134当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=35当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函数⎧0,x<0⎪22⎪,0≤x<1⎪35Fx()=⎨34⎪,1≤x<2⎪35⎪⎩1,x≥2(3)1122PX(≤)=F()=,2235333434P(1

3、(1

4、04,1≤x<2⎪0.488,2≤x<3⎪⎪⎩1,x≥3PX(≥2)=PX(=2)+PX(=3)=0.8964.（1）设随机变量X的分布律为2kλP{X=k}=a，k!其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知∞∞kλλ1=∑PX(=k)=a∑=aiek=0k=0k!−λ故a=e(2)由分布律的性质知NNa1=∑PX(=k)=∑=ak=1k=1N即a=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次

5、数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)PX(=Y)=PX(=0,Y=0)+PX(=1,Y=1)+PX(=2,Y=2)+PX(=3,Y=3)331212=(0.4)(0.3)+C0.6(0.4)C0.7(0.3)+33222233C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)+33=0.32076(2)PX(>Y)=PX(=1,Y=0)+PX(=2,Y=0)+PX(=3,Y=0)+PX(=2,Y=1)+PX(=3,Y=1)+PX(=3,Y=2)123223=C0.6(0.4)(0.3)+C(0.6)0.4(0.3)+33

6、332212(0.6)(0.3)+C(0.6)0.4C0.7(0.3)+33312322(0.6)C0.7(0.3)+(0.6)C(0.7)0.333=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各3飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有PX(>N)<0.01200kk200−k即∑C200(0.02)(0.98)<0.01kN=+1利用

7、泊松近似λ=np=2000.02×=4.∞−4ke4PX(≥N)≐∑<0.01kN=+1k!查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）PX(≥2)1=−PX(=0)−PX(=1)−0