把高等数学变得更容易_续_new

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1、高等数学研究Vol.11,No.22STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2008名师论教3把高等数学变得更容易(续)1,2,3张景中12(广州大学教育软件研究所广州510400;华中师范大学教育部教育3信息技术工程研究中心武汉430079;中国科学院成都计算机应用研究所成都610041)下面的定理肯定了一致连续函数的积分体系唯一性.命题5(一致连续函数的积分体系唯一性)设f(x)在区间I的任一个闭子区间上一致连续,S(u,v)和R(u,v)都是f(x)在I上的积分体系,则恒有S(u,v)=R(u,v).证明用反证法.若命题不真,则有I上的u

2、S(

3、u,v)-R(u,v)

4、=E>0.将[u,v]等H分为n段,分点为u=x00和在(0,H]上有定义的正值递减无界函数D(x),使当x∈[xk-1,xk]时有MMf(xk)-≤f(x)≤f(xk)+(k=1,⋯,n)D(h)D(h)由积分系统的非负性可得MM(f(xk)-)h≤S(xk-1,xk)≤(f(xk)+)h(k=1,⋯,n)D(h)D(h)对k从1到n求和,并记F=f(x1)+⋯+f(xn),得到MHMHFH-≤S(u,v)≤FH+D(h)D(h)同理有MHMHFH-≤R(u

5、,v)≤FH+D(h)D(h)2MH2MHH可见0<

6、S(u,v)-R(u,v)

7、=E≤,这推出D(h)≤;因h=可以任意小,这与D(h)D(h)En的无界性矛盾,证毕.定理的证明过程,给出了计算定积分数值的具体方法,与构造性方法对更广泛的函数类建立积分概念相互呼应.22例3试证S(u,v)=v-u是f(x)=2x在(-∞,∞)上的唯一积分系统.22证明S(u,v)=v-u显然满足积分系统定义中的可加性,下面检验其是否满足非负性.若mMf(x)=2x在[u,v]上有上界M和下界m,则显然有≤u

8、就是m(v-u)≤S(u,v)≤M(v-u).可见S(u,v)=22v-u是f(x)=2x在(-∞,∞)上的积分系统.由定理1和f(x)=2x的一致连续性,可得此积分系统的唯一性.于是,f(x)=2x在[u,v]上v2222的定积分就是S(u,v)=v-u;用定积分记号表示就是2xdx=v-u.∫u2注意到上面例4中,F(x)=x的导数就是f(x)=2x,而f(x)=2x的积分系统S(u,v)=F(v)-F(u),这是一般规律的特款.命题6设函数F(x)在区间I的任意闭子区间上一致可导,F′(x)=f(x);则二元函数S(u,v)=F(v)-F(u)是f(x)在区间I上唯一的积分

9、系统.3报告日期:2006-10-28;修改稿:2007-09-21第11卷第2期张景中:把高等数学变得更容易(续)3证明先验证关于积分系统的两个条件:(ⅰ)S(u,w)+S(w,v)=(F(w)-F(u))+(F(v)-F(w))=F(v)-F(u)=S(u,v);(ⅱ)设u

10、于是得到:微积分基本定理设函数F(x)在[a,b]上一致可导,F′(x)=f(x);则有Newton—Leibnizb公式:f(x)dx=F(b)-F(a)∫a类似于传统方法,也可以利用变上限的定积分来得到上述公式.命题7(变上限定积分的一致可导性)设f(x)在[a,b]上一致连续,S(u,v)是f(x)在[a,b]上的一个积分系统;令F(x)=S(a,x),则F(x)在[a,b]上一致可导,并且F′(x)=f(x).证明由f(x)在[a,b]上一致连续,存在M>0和在(0,b-a]上有定义的正值递减无界函数D(x),使在[u,u+h](或[u+h,u])上有MMf(u)-≤f(

11、x)≤f(u)+(1)D(

12、h

13、)D(

14、h

15、)由积分体系的非负性和(1)可得MMh>0时有(f(u)-)h≤S(u,u+h)≤(f(u)+)h(2)D(h)D(h)MMh<0时有(f(u)-)(-h)≤S(u+h,u)≤(f(u)+)(-h)(3)D(-h)D(-h))综合(2)(3)得M

16、h

17、M

18、h

19、f(u)h-≤S(u,u+h)≤f(u)h+(4)D(

20、h

21、)D(

22、h

23、)由于F(u+h)-F(u)=S(a,u+h)-S(a,u)=S(u,u+h),故从(4)推出D(

24、h

25、)

26、