北京邮电大学 数字信号处理 课件 第二章_3

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1、2.4离散信号的付氏变换2.4离散信号的付氏变换离散信号的付氏变换对∞⎧jω−jnωX(e)=∑x(n)e⎪⎪n=−∞，⎨1π⎪x(n)=X(ejω)ejnωdω⎪⎩2π∫−πx(n)=x(nT)∧aX(ejω)=X(Ω)a离散信号xˆa(t)与Xˆa(Ω)间存在付氏变换的关系。北京邮电大学电信工程学院22.4离散信号的付氏变换付氏变换对的推导∧xa(t)的付氏变换为：连续信号在时域内进行取样的结果是频域∞F[xˆa(t)]=F[∑xa(nT)δ(t−nT)]内频谱的周期延拓。n=−∞∞，∞=∑x

2、(nT)F[δ(t−nT)]12πnaXˆa(Ω)=∑Xa(Ω−)n=−∞Tn=−∞T∞−jnTΩ=∑xa(nT)e2πn=−∞是付Xˆa(Ω)氏Xˆ(Ω)既然a是周期函数（周期为T），就可级数的系数以将它写成级数形式。∞−jnTΩ即：Xˆa(Ω)=∑xa(nT)en=−∞北京邮电大学电信工程学院3∞Xˆ(Ω)=∑x(nT)e−jnTΩ例：求下列信号的DTFT变换aan=−∞(1)x(n)=2δ(n)−δ(n−1)+3δ(n−2)+δ(n−4)∴xa(nT)可由Xˆa(Ω)求得(2)x(n)=4[

3、u(n)−u(n−3)]1π解：x(nT)=TXˆ(Ω)ejnTΩdΩa2π∫−πa（1）只有4个非0值对DTFT变换有贡献，因而：TT∞jω−jnω−jω−2jω−j4ω变换成数字域形式：X(e)=∑x(n)e=2−e+3e+e∧n=−∞x(n)=x(nT)ΩT=ωjωaX(e)=Xa(Ω)一般情况下，DTFT是复值。⎧∞（2）在n<0和n>=3时，信号值都是0，所以jω−jnω级数收敛的条件是X(e)=∑x(n)e∞⎪⎪∴⎨n=−∞∑x(n)<∞∞⎪1πjωjnωn=−∞X(ejω)=x(n)

4、e−jnω=4+4e−jω+4e−2jω⎪x(n)=∫X(e)edω∑⎩2π−πn=−∞-----离散信号的付氏变换对1n例：确定x(n)=0.5u(n)的离散时间付氏变换。离散信号付氏变换的性质解：序列x(n)是绝对可加的，因此它的离散傅氏变换存在。∞∞卷积特性jω−jnωn−jnωX(e)=∑x(n)e=∑(0.5)e离散付氏变换的周期性−∞0∞离散付氏变换的对称性−jωn=∑(0.5e)离散付氏变换是一个线性变换01=−jω1−0.5ejωe=jωe−0.5北京邮电大学电信工程学院8()()

5、(jω)(jω)证明xn∗hn→XeHe卷积特性∞()−jnω解：F[x(n)∗h(n)]=∑[x(n)∗hn]en=−∞时域内的卷积关系映射到频域内为相乘∞∞−jnω=∑∑[x(k)h(n−k)]enk=−∞=−∞Fjωjωx()()n∗hn←⎯→X(e)H(e)∞∞∑()−jkω∑−j(n−k)ω=xkeh(n−k)ek=−∞n=−∞∞∞∑()−jkω∑()−jmω=xkehme时域卷积频域相乘k=−∞m=−∞jωjω=X(e)⋅H(e)利用这一性质，可以方便地把时域内的卷积计北京邮电大学电信

6、工程学院算，化简成频域内的相乘计算。9离散付氏变换的周期性离散付氏变换周期性序列的付氏变换是的周期函数，周期为ω2π∞推论：证明：jω−jnωQX(e)=∑x(n)e因此，在我们分析时，只需要知道X(ejω)的一n=−∞∞∞个周期（即ω∈[0,2π]，或[−π,π]）即可，而j(ω+2π)−jn(ω+2π)−jnω−jn⋅2πX[e]=∑x(n)e=∑x(n)ee不需要在整个−∞<ω<∞域来分析。n=−∞n=−∞∞−jnωjω=∑x(n)e=X(e)n=−∞连续信号的付氏变换不是周期函数。北京邮电

7、大学电信工程学院北京邮电大学电信工程学院11122离散付氏变换的对称性离散付氏变换的对称性jω共轭对称函数Xe(e)定义为：任一付氏变换都可以分解为共轭对称jω*−jω和共轭反对称两部分X(e)=X(e)ee若为实函数，共轭对称函数即为偶函数。jωjωjωX(e)=X(e)+X(e)eojω共轭反对称函数Xo(e)定义为：1jωjw*−jω其中X(e)=[X(e)+X(e)]jω*−jωe2Xo(e)=−Xo(e)(jω)1jω*−jωXe=[X(e)−X(e)]若为实函数，共轭反对称函数即为奇函

8、数。o2北京邮电大学电信工程学院北京邮电大学电信工程学院1314离散付氏变换的对称性离散付氏变换的对称性若为实序列，则其付氏变换有以下性质:()jω(f)xn↔R[X(e)]ee(jω)*(−jω)−−−x(n)的共轭对称序列对应实部(a)Xe=Xe−−共轭对称jω−jωjω(g)x(n)↔jI[X(e)](b)R[X(e)]=R[X(e)]−−实部是ω的偶函数omee−−−x(n)的共轭反对称序列对应虚部jω−jω(c)I[X(e)]=−I[X(e)]−−虚部是ω的奇函数mmjω