数字信号处理课件-第二章.ppt

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1、第二章z变换与序列傅立叶变换引言2-1z变换的定义及收敛域2-2z反变换2-3z变换的基本性质和定理2-4z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2-5序列傅立叶变换及性质2-6离散系统的系统函数及频率响应引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算、卷积和、差分方程的求解。二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：z变换序列傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换DFT(FFT)。z域

2、分析、频域分析。一、z变换定义2-1z变换的定义及收敛域z变换式记作二.收敛域1.定义:使序列的z变换所定义的幂级数收敛的所有z值的集合称作的收敛域。2.收敛条件：收敛的充要条件是绝对可和。为使上式成立，就须确定取值的范围，即收敛域。由于为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即图2.1.1环状收敛域jIm（z）Re（z）其中，，称为收敛半径，可以小到0，而可以大到。式（2.1.4）的平面表示如图2.1.1所示。因为是复变量的函数，所以我们用复数平面来表示。常见的一类变换是有理函数，即使的那些值称为的零点，而使的那些值称为的极点。零点、极点也可能包含

3、处的点。由于在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。(1).有限长序列2、序列形式与其z变换收敛域的关系x(n)n0n11...(3).右边序列收敛域(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：(5)左边序列x(n)0(6)双边序列0nx(n)其收敛域应包括即充满整个z平面。三、常用序列的z变换1、单位样值序列2、阶跃序列收敛域为3、单位斜变序列将上式两边对求导得，两边同乘以得，收敛域当时，这是无穷递缩等比级数。4.右边指数序列收敛域：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。5、左边指数序列当

4、b

5、>

6、z

7、时，这是无穷递缩等比级

8、数，收敛收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。6、双边指数序列该序列的变换为若，则上面的级数收敛，得到2-3z反变换一.定义：已知及其收敛域,反过来求序列的变换称作z反变换。记作：z变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c1、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）二.求z反变换的方法部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，

9、使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。因此，可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；zk为的各单极点，为的一个s阶极点。而系数Ak，Ck分别为：通常，可表成有理分式形式：解：的z反变换。例利用部分分式法，求依据式（2.2.3）得2-4z变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性如果,则有：例2-10已知,求其z变换。解：2.序列的移位如果则有：例2-11求序列的z变换。依据移位性质得例2.3.2求序列解查表2.1.2可知因此，依据

10、线性性质得所求为的z变换。3.翻褶序列如果，则证明：4.序列指数加权性质（z域尺度变换）如果，则证明：5.序列的线性加权(z域求导数)如果，则证明：6.共轭序列如果，则证明：7.初值定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许在处可能有一阶极点，故因子将抵消这一极点，因此在上收敛。所以可取的极限。9.序列的卷积和(时域卷积定理)证明：例2.3.5解：10.序列相乘(z域卷积定理)其中,c是在变量v平面上，，公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。11.有限项累加特性证明：差分：累加：12.帕塞瓦尔定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在

11、公共收敛域内。如果则有:*几点说明：这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理1.当为实序列时2.当围线取单位圆时，，则3.当时2-5z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设为连续信号，为其理想抽样信号根据z变换的推导过程，可知：当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。即：或者：s平面用直角坐标表示为：z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此，；这就是说，z的模只与s的实部相对应,z的相角只与s虚部相对应。→00(1).与的关系，即s平面的虚轴→，即z平面单位圆；，即s的左半平面→，即z的单位圆内；，即s的

12、右半平面→，即z的单位圆外。jIm[z]Re[z]0jIm[z]R