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1、现代数字信号处理课程回顾第一章时域离散随机信号的分析第二章维纳滤波和卡尔曼滤波第三章自适应数字滤波器第四章功率谱估计第五章时频分析第一章时域离散随机信号的分析主要内容：平稳随机信号的统计描述随机序列数字特征的估计平稳随机序列通过线性系统时间序列信号模型对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的自相关函数来高度概括。对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数，就等于知道了该随机信号的主要数字特征。自相关函数及其性质：的特性的特性mm各态遍历性：只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特征，就可以用一个实现来表示
2、总体的特性。〈x(n)〉=mx=E［X(n)］〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］功率密度谱：维纳–––辛钦定理（Wiener-KhinchinTheorem）Pxx(ω)≥0随机序列数字特征的估计：估计准则：无偏性、有效性、一致性均值的估计：方差的估计：自相关函数的估计：平稳随机序列通过线性系统：相关卷积定理：卷积的相关函数等于相关函数的卷积e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)ref(m)=rac(m)*rbd(m)ryy(m)=rxx(m)*v(m)=rxy
3、(m)*h(-m)时间序列信号模型：MA模型ARMA模型AR模型滤波器阶数：对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或者说是它的长度减1。三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性，但是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。这里说的效率,指的是模型的系数愈少，效率愈高。谱分解定理：如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函
4、数H(z),满足式中，ak,bk都是实数，a0=b0=1,且
5、αk
6、＜1,
7、βk
8、＜1。rxx(m)Pxx(z)H(z)Z变换Z反变换谱分解自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系第二章维纳滤波和卡尔曼滤波主要内容：FIR维纳滤波求解非因果IIR维纳滤波求解因果IIR维纳滤波求解维纳纯预测维纳一步线性预测卡尔曼滤波x(n)=s(n)+v(n)最佳滤波器：正交性原理：要使均方误差为最小，须满足E［x(n-j)e*(n)］=0j=0,1,2,…分析：上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计
9、的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。维纳—霍夫方程：维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：FIR维纳滤波求解：k=0,1,2,…设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)非因果IIR维纳滤波求解：信号和噪声不相关时因果IIR维纳滤波求解：对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为k=0,1,2,…图2.3.5利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:因果维纳滤波器的复频域最佳解为因果维纳滤波的最小均方误差为通过前面的
10、分析,因果维纳滤波器设计的一般方法可以按下面的步骤进行：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。(2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得(3)积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计算Hopt(z),E［
11、e(n)
12、2］min。维纳预测：图2.4.1(b)维纳预测器图2.4.1(a)维纳滤波器纯预测：假设x(n)=s(n)+v(n)，纯预测问题是在v(n)=0情况下对s(n+N),N＞0的预测，此时x
13、(n)=s(n)。因果情况下，假设s(n)与v(n)不相关，纯预测情况下一步线性预测：采用p个最近的采样值来预测时间序列下一时刻的值，包括前向预测和后向预测两种。前向预测：得到下面的方程组：将方程组写成矩阵形式（Yule-Walker方程）后向预测：维纳－霍夫方程Yule-Walker方程Levinson-Durbin算法：Levinson-Durbin的一般递推公式如下：卡尔曼滤波：利用状态方程和递推方法寻找最小均方误差下状态变量的估计值，即假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程和量测方程（也称为输出方程
14、）表示为Ak为状态转移矩阵，描述系统状态由时间k-1的状态到时间k的状态之间的转移；Ck为量测矩阵，描述状态经其作用，变成可量测或可观测的；xk为状态向量，是不可观测的；yk为观测向量；wk为过程噪声；vk为量测噪声。第三章自适应数字滤波器主要内容：LMS自适应横向滤波器LMS自适应格型滤波器最小二乘（LS）滤波自适应滤波器的应用LMS自适应横向滤波器：e(
